Exercice

[laurag]

Bonjour,

Comment fait-on pour étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
Sachant que f'(x)= 3(x-1)/(2).

Cordialement.

[titine]

Bonjour,

Comment fait-on pour étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
Sachant que f'(x)= 3(x-1)/(2).

Cordialement.

Le dénominateur (2 rac(x)) est positif.
Il suffit donc d'étudier le signe de 3(x-1)
Or : 3(x-1) > 0 équivaut à x-1 > 0 c'est à dire x > 1
Donc lorsque x>1 f'(x) est positif et lorsquex<1 f'(x) est négatif.

[laurag]

[quote="titine"]Le dénominateur (2 rac(x)) est positif.
Il suffit donc d'étudier le signe de 3(x-1)
Or : 3(x-1) > 0 équivaut à x-1 > 0 c'est à dire x > 1
Donc lorsque x>1 f'(x) est positif et lorsquex0. Donc f est bien définie sur [0 ; +inf].

2) Justifier que f est dérivable sur ]0;+inf[ et que tout x appartient à ]0;+inf[, f'(x)= 3(x-1)/(2rac(x)).
Je ne sais pas comment m'y prendre.

3) Étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
Le dénominateur (2 rac(x)) est positif.
3(x-1) > 0 équivaut à x-1 > 0 c'est à dire x > 1
Donc lorsque x>1 f'(x) est positif et lorsque x<1 f'(x) est négatif.
Faut-il faire un tableau de signe ?

4) Étudier la dérivabilité de f en 0.
Je pense qu'il faut utiliser le taux d'accroissement, mais je ne sais pas faire.

Cordialement

[tototo]

Bonjour,

Comment fait-on pour étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
Sachant que f'(x)= 3(x-1)/(2).

Cordialement.

Bonjour

Comme >0 le signe de f'(x) est celui de (x-1).
Si x>1 alors f'(x)>0 et f croit.
Si x<1 alors f'(x)<0 et f decroit .

[tototo]

[quote="laurag"]D'accord merci pour votre aide.

Donc si je reprends mon exercice:
Énoncé : On considère la fonction f définie sur [0;+inf] par f(x)=(x-3)rac(x).

1) Justifier le domaine de définition de f.
Une racine carrée ne se calcule que pour des nombres positifs, alors (x-3)rac(x)>0. Donc f est bien définie sur [0 ; +inf].

2) Justifier que f est dérivable sur ]0;+inf[ et que tout x appartient à ]0;+inf[, f'(x)= 3(x-1)/(2rac(x)).
Je ne sais pas comment m'y prendre.
f(x)=u(x)*v(x)
avec u(x)=(x-3) v(x)=rac(x)
u'(x)=1 v'(x)=(1/2)/rac(x)
f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
=1*rac(x)+(x-3)/2rac(x)
=(2x+x-3)/2rac(x)
=3(x-1)/2rac(x)
3) Étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
Le dénominateur (2 rac(x)) est positif.
3(x-1) > 0 équivaut à x-1 > 0 c'est à dire x > 1
Donc lorsque x>1 f'(x) est positif et lorsque x<1 f'(x) est négatif.
Faut-il faire un tableau de signe ?
x_____/0_____1_________3______+inf
(x-1)_/___-___0_____+_______
rac(x)/___+_________+_______
f'(x)__/___-__0______+_______
f____/0decroit_-2___croit_0__croit____+inf__
f___/_0__-_____________0____+_________
4) Étudier la dérivabilité de f en 0.
Je pense qu'il faut utiliser le taux d'accroissement, mais je ne sais pas faire.

Cordialement

[laurag]

Pour la question 4) : Étudier la dérivabilité de f en 0.
On est dans le cas où la fonction est définie, mais non dérivable en un point. Quand x se rapproche de 0, la fonction dérivée se rapproche de l'infini, ce qui fait qu'elle n'est pas dérivable (il existe bien une tangente, mais qui est verticale, et donc qui n'a pas de coefficient directeur défini).

Mais pour répondre à cette question, comment fait-on le taux d'accroissement ?

Cordialement.
Merci pour votre aide.

[tototo]

Pour la question 4) : Étudier la dérivabilité de f en 0.
On est dans le cas où la fonction est définie, mais non dérivable en un point. Quand x se rapproche de 0, la fonction dérivée se rapproche de l'infini, ce qui fait qu'elle n'est pas dérivable (il existe bien une tangente, mais qui est verticale, et donc qui n'a pas de coefficient directeur défini).

Mais pour répondre à cette question, comment fait-on le taux d'accroissement ?

Cordialement.
Merci pour votre aide.

Bonjour,

on pourra regarder si :

lim(x->0+) (f(x)-f(0))/(x-0) existe

lim(x->0+) (f(x)-0)/(x-0) =
lim(x->0+) ((x-3)rac(x)-0)/(x-0) =
lim(x->0+) (rac(x)-3/rac(x)) =
0-infini=-infini

donc f admet une tangente verticale en 0.
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e

[Robic]

Pour la question 2, il faut expliquer pourquoi la fonction est dérivable. Ici, cette fonction est le produit de deux fonctions, et plus précisément c'est le produit d'une fonction affine (dérivable sur R) par la fonction racine carrée (dérivable sur R+*), donc c'est dérivable sur R+*. Ensuite, puisqu'on a démontré la dérivabilité, on peut calculer la dérivée.

Pour la question 4, je pense qu'il faut utiliser la définition de la dérivée : f est dérivable en 0 si et seulement si admet une limite quand h tend vers 0.

(Oups, je viens de voir que c'est exactement ce que vient de dire Tototo... En fait pas tout à fait : Tototo utilise la définition avec mais il me semble qu'au lycée on utilise celle avec . Ça revient au même...)