Exercice sur un sous-ensemble

[Rana Viridis]

Bonjour, je suis bloquée à cet exercice :
Exercice 10. Soit S={1,2,3,…,2016}
Trouver le plus grand entier n vérifiant la propriété suivante : il existe un sous-ensemble A de S possédant n éléments tel que la différence de deux éléments quelconques de A ne divise jamais leur somme.

[ImWeas]

Bonjour, par quoi à tu commencer pour réflechir ce problème?

[Rana Viridis]

J'ai lu le problème pour bien comprendre ce qui est attendu.

[capitaine nuggets]

Salut !

Personnellement, pour commencer, je me demanderais si marcherait ? Auquel cas, on aurait .
Saurais-je donner un exemple et un contre-exemple ?
Peut-être raisonner suivant la parité des éléments de A.
C'est un début de piste, je n'ai pas la réponse pour le moment...

[Rana Viridis]

Merci, je vais essayer cette piste

[Pseuda]

Bonsoir,

http://www.les-mathematiques.net/phorum ... ?3,1273473

[Lostounet]

Perso, j'aurais essayé de voir à quoi ressemblent les ensembles B de nombres (a;b) avec a et b dans S, tel que
(a+b)/(a-b) = k avec k entier.

Ka-kb-a-b=0
a(k-1)=b(k+1)

Ça permet de voir quelques petites choses sur a et b (ou surtout ce que a et b ne peuvent pas être).
J'ai pas la solution encore non plus.

Il y a plusieurs choses à retirer de S avec ces contraintes obtenues par cette égalité-là. Mais ensuite tout se joue sur comment ajouter des gros trucs à S\B en conservant la propriété voulue. Je réfléchis...!

[Pseuda]

Ce sous-ensemble A ne peut pas contenir 2 nombres consécutifs, ni 2 nombres espacés de 1.

[zygomatique]

salut

1 divise tout entier donc A ne peut contenir deux entiers consécutifs


A ne peut contenir deux entiers consécutifs pairs

généralisation : A ne peut contenir deux multiples consécutifs de tout entier de S


de plus : A ne peut contenir deux impairs consécutifs ...