Exercice sur le produit scalaire

[Florélianne]

Bonsoir,

Soit ABC un triangle de centre de gravité G dont les médianes [AI], [BJ], [CK] ont pour longueurs 6 cm, 9cm et 4.5 cm.
1. Soit A' le symétrique de A par rapport à G.
Calculer BG,A'G, BA' puis construire ABC.
J'ai réussi à calculer BG et A'G en utilisant la rêgle AG=(2/3)AI.
ce qui donne BG=6 et A'G=4 mais je ne vois pas comment faire la suite
Pour trouver BA', prouve que I est le milieu de [GA']
facile : AG= (2/3) AI donc IG= AI/3 et AG=GA' donc...
donc le quadrilatère GBA'C a ses diagonales...
donc GBA'C est un ...
donc BA' =
et CG = ?
pour construire ABC, tu traces [AA' ] son milieu G et le milieu I de [GA']
Avec le compas tu construis le parallélogramme GBA'C
tu as ABC !
2.Calculer AB,AC, et BC.
Le théorème de Thalès (avec un parallélogramme ça va de soi !) te donnera la réponse, ou le théorème dit "des milieux"

• triangle ABA' pour AB
• triangle ACA' pour AC

Je ne vois pas comment trouver BC, pour le moment...
Remarque, dieu des forges, qui vit sous l'Etna, le titre était produit scalaire... or je ne l'ai pas utilisé.... alors ?
Très cordialement

[Florélianne]

Bonsoir,
Si les diagonales avaient la même longueur ce serait plus qu'un parallélogramme, ce serait un rectangle !

Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
réciproque :


Un quadrilatère qui a ses diagonales:

• qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme

• qui se coupent perpendiculairement en leur milieu est un losange

• qui se coupent en leur milieu et sont isométriques (même longueur) est un rectangle

• qui se coupent perpendiculairement en leur milieu et sont isométriques est un carré

Voilà un rappel capital du collège !
donc la longueur des diagonales n'a aucune importance !
elles se coupent en leur milieu :
I est à la fois le milieu de [GA'] et de [BC]
donc DBA'C est un parallélogramme

Très cordialement

[busard_des_roseaux]

Bj,

soient les sommets

soient a,b,c les longueurs des côtés (a)

et A,B,C les longueurs des médianes.


A longueur de médiane issue du sommet

Comme BGCA' est un parallèlogramme, on applique l'identité
du parallèlogramme

(***)

démontre cette dernière égalité en developpant les carrés scalaires



avec un peu de chance,la relation (***)
devrait te donner:



remarque:
un triangle n'est défini que si ses longueurs de côtés vérifient
les inégalités dites triangulaires:

où a=max(a,b,c)

avec



est-ce que cela veut dire que l'on ne peut pas donner des valeurs arbitraires
pour les longueurs de médianes ?

[busard_des_roseaux]

Avec le théorème de Pythagore, cette dernière égalité donne une caractérisation d'un triangle rectangle via les longueurs de médianes. lol. :doh: :we:

[busard_des_roseaux]

Bj,

avec ces notations:

A=longueur de médiane issue de
a=longueur du côté opposé à l"angle

le théorème de la médiane (1ère) donne:




dans ce fil , on a obtenu la réciproque,ie, les longueurs de côtés en
fonction des longueurs de segments médians:

(***)

A-priori, dans le problème des médianes, les trois segments médians
ont des longueurs connues.
Ces segments sont assujettis à "tourner" librement autour d'un point fixe G,situé au de chaque segment.

Est-ce que ça peut toujours donner un vrai triangle ?

on obtient un tel triangle ssi est vérifiée l'inégalité triangulaire


élevée au carré, cette inégalité équivaut à:



est-ce que les égalités (***)
donne toujours un vrai triangle, c'est à dire,
trois nombres a,b,c vérifiant l'inégalité triangulaire ??
c'est ce que je n'ai pas su démontrer. le produit bc
ne s'exprime pas facilement avec les longueurs de médianes.

[busard_des_roseaux]

re,

je suis sur la piste d'un joli résultat:

c'est que les longueurs de médianes A,B,C doivent, elles-mêmes,
vérifier les inégalités triangulaires:





pour être de véritables médianes d'un véritable triangle.

pour démontrer ça,
G doit être l'équibarycentre du futur triangle:


en faisant le produit scalaire de cette égalité successivement par

on obtient un système linéaire 3x3,à 3 équations et trois inconnues,
que vérifient les cosinus des angles

que forment les médianes entre elles.

ce système se résoud agréablement avec des déterminants 3x3
à partir des longueurs A,B,C des médianes.

Une fois exprimés que ces trois cosinus sont dans l'intervalle , les trois longueurs A,B,C, devraient vérifier l'inégalité triangulaire !!

je dois taffer. je ferai les calculs plus tard..

[busard_des_roseaux]

re,

le théorème de la médiane donne les longueurs des trois médianes,fonctions des longueurs de côtés:

l'exercice indiqué plus haut donne les longueurs des côtés, fonctions des longueurs de médianes:


De cette parfaite réciprocité, de cette dualité, on peut en conclure que
les segments médians d'un triangle vérifient nécéssairement l'inégalité
triangulaire:


à suivre... :doh:

[busard_des_roseaux]

re,

définissons les angles (de vecteurs) que forment les médianes entre elles:



Le centre de gravité G est l'équi-barycentre des trois sommets

en effectuant le produit scalaire de
successivement avec

il vient le système 3x3 d'inconnues



on peut penser qu'avec de l'aide, un élève de 1ère a les moyens de résoudre un tel système. Quoiqu'il en soit, on le résoud:



on s'aperçoit, après tant d'efforts, qu'il s'agit juste d'une relation d'Al-Kashi,que l'on aurait pu écrire dans un des parallèlogrammes de la figure !

En écrivant que , il vient, pile-poil,
l'inégalité triangulaire désirée:


car

ce qui est le cas des données numériques de l'exercice: 9 < 4,5 + 6

[busard_des_roseaux]

re,

en sommant les égalités, on obtient:

soit


on pourrait chercher des triangles
à longueurs de côtés et de médianes, entières.

ou

itérer la construction géométrique d'un triangle médian de cotés A,B,C
à partir d'un triangle initial de côté a,b,c (on rèpete indéfiniment la construction en remplaçant (a,b,c) par (2A,2B,2C) ).

[axiome]

merci j'ai tous compris (même si sa m'a pris un peu de temp)

Si tu as compris, c'est le principale... Qu'importe le temps...
C'est en forgeant qu'on devient forgeron...
:ptdr: