Exercice sur polynomes et 2nd degré DM

[Rodrigo]

Bonjour a tous,

Je dois rendre un DM a la rentrée ( je suis en 1ere S ) mais j'ai un exercice que je n'arrive pas a faire ! Ca fait depuis une semaine que je bosse et j'essaye mais sans succés ! :mur: C'est pour cela que je sollicite votre aide ! Merci de bien vouloir m'aider !

Alors l'exercice est le suivant :
Soit a,b et c trois nombres réels.
On pose f(x)=(x-a)(x-b)-c²
1. Prouver que l'équation f(x)=0 admet toujours des solutions dans R.
2.Donner, en justifiant, les conditions sur a,b et c pour que l'équation f(x)=0 ait une et une seule solution.

Pour la 2, je pense avoir trouvé mais je ne suis pas du tout sur !

Merci de bien vouloir m'aider car j'en peux plus !!! :cry:

[Huppasacee]

Bonjour

Solution graphique :

soit la fonction g(x) = (x-a)(x-b)

quel type de courbe avons nous ?

a-t-elle des racines

de quels signes est elle sur quels intervalles ?

Dire : pour telle question , je crois avoir trouvé , mais je ne suis pas sûr !

comment peut on répondre ?

[Rodrigo]

Merci Huppasacee de m'avoir répondu !

Mais je n'ai pas compris, ou plutot je n'arrive pas a tracer la courbe g(x)=(x-a)(x-b). J'ai essayé de prendre des valeurs de a et b, et aprés plusieurs essais, je conclus que l'on obtient une parabole, et quelque soit les valeurs, elle a des racines. Les racines sont respectivement x1=a ou c2=b.
Si on développe cette expression on obtient : x²-bx-ax+ab.On remarque que c'est de la forme ax²-bx+c. Donc d'apres le cours, comme a est positif,alors elle est décroissante sur - l'infini;-b/2a ( on sait que b est un réel,donc -b/2) puis croissante sur -b/2a; l'infini.

Voila j'ai répondu a tes questions mais je suis désolé, ca m'avance pas trop! Pouvez vous m'aider ?? svp ! j'ai du mal a dormir a cause de cet exo !!! GRRR :cry:

Huppasacee, quand je dis,je pense avoir trouvé mais je ne suis pas du tout sur, cela signifie que je voudrais confirmer mes reponses !

Merci d'avance !!!!

[Huppasacee]

si on développe
g(x) = (x-a)(x-b)

on s'aperçoit que nous avons un polynôme du second degré

qui est représenté par une parabole
comme cette fonction s'annule pour x = a et pour x= b

elle a 2 racines si a différent de b
une seule si a = b
(important pour question 2 )

la fonction est ..... entre les racines et .... à l'extérieur

à l'extérieur des racines la fonction prend ses valeurs entre ..... et .....
(cela veut dire : g(x) , à l'extérieur des racines va de ... à ....)

peux tu répondre alors à la première question
rappelons que c² est une valeur de signe ....

[Rodrigo]

Bonjour !
Merci encore de m'avoir répondu ! Mais je suis désolé, mais je ne comprends pas où vous voulez en venir : J'ai bien compris votre raisonnement que j'ai completé :

la fonction est NEGATIVE ( signe de -a) entre les racines et POSITIVE ( car a=1>0) à l'extérieur

à l'extérieur des racines la fonction prend ses valeurs entre x= ]moins l'infini;a[ et ]b;plus l'infini[

c² est une valeur positive car le carré d'un nombre est toujours positive.

Mais je ne vois pas comment vous prouvez que (x-a)(x-b)-c²=0 admet toujours des Sions dans R.
Au début j'avais pensé a calculer le discriminant mais je n'ai pas réussi.

Pour la deuxieme question, je pense que a doit etre égal a b et c=0.

J'espere que vous me répondrez, Merci d'avance !

[Huppasacee]

bONSOIR

g(x) = (x-a)(x-b)

supposons que a < b

cette fonction admet donc toujours 2 racines : a et b , ceci , tu es d'accord ?

c'est donc une parabole qui pour x < a est positive

elle est décroissante

pour x étant très grand mais négatif, comment est g(x) ?

elle décroit donc de valeurs positives très grandes jusqu'à s'annuler pour x = a

donc , forcément elle passe par la valeur c² , qui est une valeur positive

par exemple

soir c² = 100

il existe un nombre négatif x_n tel que que g(x_n) est supérieure à 100

et pour x = a , elle vaut 0
elle passera donc par 100

ensuite on fait le même raisonnement pour x > b
elle croît de g(b) = 0 à des nombres infiniment grands

donc elle passera par c²

[Huppasacee]

à l'extérieur des racines la fonction prend ses valeurs entre x= ]moins l'infini;a[ et ]b;plus l'infini

oui x passe de - infini à a , mais g(x) passe de + infini à 0

pareil pour x>b
x passe de b à + infini et g(x) passe de 0 à + infini

[Rodrigo]

Merci beaucoup pour m'avoir aidé !
J'ai enfin compris !
Merci en plus de m'avoir répondu dans les temps !
Au revoir

[oscar]

Bonsoir

Je m' excuse d' intervenir seulement maintenant (panne de PC)

f(x) = (x-a)(x-b) - c² ou x² - (a+b)x + ab-c²
1)
Un trinôme du 2e degré admet deux racines distinctes si
son discriminant est >0
Donc D = (a+b²² -4(ab-c²) = a²+2ab +b² -4ab +4c²= (a-b)² +4c²
TOUJOURS >0


2) Il y a une seule racine si D = 0 ====> a=b=c=0