[seconde]Exercice sur le "nombre d or"

[arnaudrou]

Hello

Jai quelques problemes dans mon exercice:

énoncé: L'unité de longueur est le décimètre. On considère un carré ABCD de coté 1. Le point I est le milieu de [AB]. le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [IB) en P.
1)Faire la figure que l'on complétera dans les questions suivantes ---> pour l'instant pas de problèmes
2)Calculer en justifiant les distances IB,IC puis AP (on donnera les valeurs exactes) ---> je pense avoir bon, je trouve respectivement 0.5 dm (moitie de AB),racine de 1.25(theoréme de Pythagore) et 0.5+racine de 1.25.
3) On note phi (la lettre grecque) phi=(1+racine de 5)/2 Démontrer que AP/AD = BC/BP = phi et construire le point R tel que APRD soit un rectangle. L'égalité AP/AD = BC/BP signifie que les rectangles APRD et BPRC ont le meme format (on appelle format d'un rectangle le quotient du "grand" côté par le "petit") ---> Problème: J'ai fais les calculs et je trouve bien cette égalite mais comment démontrer?

4)Construire le point T sur [BC] et le point S sur [PR] tels que BPST soit un carré et démontrer que le rectangle TSRC a un format égal a phi ---> Meme problème que pour la 3), jai tous les calculs et je trouve l'égalite mais comment démontrer?

5) Le nombre phi=(1+racine de 5)/2 est appelé "nombre d'or". Démontrer que phi au carré=phi+1 puis que phi au cube=phi+2 ---> toujours le meme problème, J'ai fais les calculs et je trouve bien cette égalite mais comment démontrer?

6) Ecrire 2/(1+racine de 5) sans radical au dénominateur puis démontrer que 1/phi = phi-1 ---> Je n'ai rien compris à cette question

Merci d'avance pour votre aide

[cesar]

pour les 5 et 6 :

on essaye de vous faire demontrer que:
pour n entier positif
phi puissance n = a(n)*phi + a(n-1), a(n) = element n de la suite de Fibonaci, a(n-1)= element n-1 de la suite de fibonaci.

extrait de la suite :
0 1 1 2 3 5 8 13....
et a1=a2=1, a0=0, a3=2...

par ailleurs, la propriete phi au carre = phi +1 donne Deux racines pour phi, donc phi partage la propriété "phi puissance n = a(n)*phi + a(n-1)" avec un autre element : 1/phi.....

[arnaudrou]

voila ce que je trouve pour la question 5):

phi²=phi+1
((1+V5)/2)² = ((1+V5)/2) + 1
((6+2V5)/4) = 1/2 + V5/2 + 1
6/4 + 2V5/4 = 3/2 + V5/2
3/2 + V5/2 = 3/2 + V5/2

On retrouve bien 2 membres égales...

Es-ce bon?

Si oui comment faire pareil pour:
phi au cube =phi+2