Exercice sur Malthus

[AmelyeLaPapaye]

bonjour tout le monde, je suis en première S et j'ai un exercice à faire pour la semaine prochaine. j'aurais besoin d'aide pour comprendre.

Voici l'énoncé :

En 1798, Malthus publie "An essay on the principle of population".
Il y émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira le monde à la famine .
En 1800, la population de l'Angleterre était estmiée à 8 milions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes. L Malthus suppose que la population augmentait d'environ 2% chaque année et que l'émlioration de l'agriculture permettrait de nourrir 500 000 personnes de plus chaque année .

1) Qui était Malthus ?
2) Déterminer en quelle année la situation devait devenir critique selon Malthus. Toutes les démarches devront être expliquées.

La question 1), il n'y a pas de soucis.
la question 2) j'avoue que je bloque un peu...

je sais que Pn= 8*10^6*(1+2/100)^n
Pn= 8*10^6*(1+2/100)^100

Mais autrement je bloque vraiment.
Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider un peu et m'expliquer pour que je puisse finir mon exercice de maths.
Merci d'avance pour votre aide!

AmelyeLaPapaye

[titine]

bonjour tout le monde, je suis en première S et j'ai un exercice à faire pour la semaine prochaine. j'aurais besoin d'aide pour comprendre.

Voici l'énoncé :

En 1798, Malthus publie "An essay on the principle of population".
Il y émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira le monde à la famine .
En 1800, la population de l'Angleterre était estmiée à 8 milions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes. L Malthus suppose que la population augmentait d'environ 2% chaque année et que l'émlioration de l'agriculture permettrait de nourrir 500 000 personnes de plus chaque année .

1) Qui était Malthus ?
2) Déterminer en quelle année la situation devait devenir critique selon Malthus. Toutes les démarches devront être expliquées.

La question 1), il n'y a pas de soucis.
la question 2) j'avoue que je bloque un peu...

je sais que Pn= 8*10^6*(1+2/100)^n
Pn= 8*10^6*(1+2/100)^100

Pourquoi le n est il devenu 100 ?
Donc, effectivement, la population de l'Angleterre serait, en 1800+n, égale à 8*10^6*(1+2/100)^n

Appelons An le nombre de personnes pouvant être nourries par l'agriculture anglaise en 1800+n
On A0 = 10*10^6
A1 = 10*10^6 + 5*10^5
.......
(An) est une suite arithmétique de raisin 5*10^5
Donc An = 10*10^6 + 5*10^5*n

Tu me suis ?

Il y aura un problème lorsque la population sera plus importante que la quantité de personnes pouvant être nourries par l'agriculture.
Tu prends ta calculatrice et tu regardes à partir de quelle année il y aura un problème.

[AmelyeLaPapaye]

Merci beaucoup.
Seulement je comprend pas pourquoi An= 10*10^6 + 5*10^5*n ! je comprend pas comment tu trouves ça..
pour comparer je peux faire une courbe ?

[Tiruxa]

Car pour une suite arithmétique (un) de premier terme u0 et de raison r on a :
un = u0 + nr, n entier naturel quelconque

ici u0 ou plutôt A0 est 10*10^6

et r est 5*10^5

[Tiruxa]

D'autre part, les fonctions exponentielles étant vues seulement en terminales, il ne faut pas utiliser de courbes.
Simplement la calculatrice ou bien un tableur

[AmelyeLaPapaye]

d'accord merci.
juste comment on fait pour comparer les deux suites sur la calculatrice ?

[titine]

d'accord merci.
juste comment on fait pour comparer les deux suites sur la calculatrice ?

Tu ne sais pas saisir une suite à la calculatrice et faire afficher ses termes ?

[AmelyeLaPapaye]

Non je ne sais pas faire ça... :(

[titine]

Merci beaucoup.
Seulement je comprend pas pourquoi An= 10*10^6 + 5*10^5*n ! je comprend pas comment tu trouves ça..

Est ce que tu comprends pourquoi :
A0 = 10*10^6
A1 = 10*10^6 + 5*10^5 ?
Et est ce que tu comprends que A2 = 10*10^6 + 5*10^5 + 5*10^5 = 10*10^6 + 2*5*10^5 ?
Et A3 = 10*10^6 + 2*5*10^5 + 5*10^5 = 10*10^6 + 3*5*10^5 ?
De même An = 10*10^6 + n*5*10^5

Comprends tu pourquoi j'ai dit que (An) est une suite arithmétique de raison 5*10^5 ?

[titine]

Non je ne sais pas faire ça...

Vous ne l'avez jamais fait en cours ?

[AmelyeLaPapaye]

Vous ne l'avez jamais fait en cours ?

Non, jamais...

[titine]

Bon alors tu peux saisir les fonctions :
Y1=8*10^6*(1+2/100)^X (pour la calculatrice la variable s'appelle X)
Y2= 10*10^6 + 5*10^5*X
Puis tu fais afficher un tableau de valeur commençant à X=0 et de pas 1.
Tu auras P0, P1, P2, ..... et A0, A1, A2, ....

[AmelyeLaPapaye]

Ma calculatrice dit que la variable n'est pas valide !

[titine]

Quelle calculatrice as tu ?
As tu fait exactement ce que je t'ai dit ?