Exercice sur les vecteur niveaux 2nd

[verkko]

Bonjour a tous , voila j' ai un exercice a faire pendant les vacances sur les vecteurs et je ne comprend
vraiment pas et je souhaiterais que des perssones m' aident à réaliser cette exercice
car je suis vraiment perdue merci beaucoup voici ci dessous le sujet de l' exercice bonne journée a tous .


Exercice :
soit ABC un triangle .
On note A', B' ,C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].

1ere partie :

"Supposons que G est le centre de gravité du triangle ABC et démontrons que
vecteurGA + vecteurGB + vecteurGC = 0".

Faites une figure et completez la au fur et à mesure .
Soit D le symétrique de G par rapport à A'.

a) Déterminez la nature du quadrilatere BGCD en justifiant.
b) En deduire la somme vectorielle (vecteurGB + vecteurGC )
c) Démontrez que G est le milieu de [AD].
d) En deduire que vecteurGA + vecteurGB + vecteurGC=0

2eme partie: {la réciproque }

" Supposons que G est le point défini par: vecteurGA + vecteurGB + vecteurGC=0(1)
démontrons que G est le centre de gravité du triangle ABC ."

Faites une nouvelle figure et complétez-la au fur et a mesure.

a) Construire, en justifiant, le point G à partir de l' hypothese(1).
b) Soit D' le point défini par vecteurGD = vecteurGB + vecteurGC
1) a l'aide de l'égalité (1), démontrez que G est le milieu de [AD'].
2) Quelle est la nature du quadrilatere BGCD'.
c) Démontrez que la droite (BG) coupe [AC] en son milieu et que la droite (CG)
coupe [AB] en son milieu .
d) Conclure

3eme partie:

a) Donnez la caracterisation vectorielle du centre de gravité G
d'un triangle ABC démontrée à travers les 2 premieres parties .
b) démontrez, avec les notations précédentes que

vecteurAG =1demi de vecteur AA'
vecteurBG =2tiers de vecteur BB'
vecteurCG =2tiers de vecteur CC'