Exercice sur les suites

[Vladiris]

Bonsoir!
Me voici confronté à un exercice sur les suites avec lequel j'ai un peu de mal:

Exo

En gros si vous pouviez me donner des pistes pour la dernière question de la partie A et toutes celles de la partie B. Juste de quoi pouvoir continuer un développement, parce que là je sèche complètement

Je remercie ceux qui prendront bien la peine de m'éclairer.

[Vladiris]

Un ptit up :we:

[Vladiris]

Rien n'est perdu j'ai fait la question B.a.

Pour les autres je cherche toujours mais je ne sais vraiment pas quoi faire. :triste:

[hellow3]

Pour la question
B.b. Tu sais que Un>=0.1
utilises le.

[Vladiris]

Merci bien :we:
Donc il me reste la récurrence à écrire (là je peine, la deuxième "partie" concernant les limites de la question A.3 c'est bon), ainsi que les question B.c et B.d.
Pour la c il me semble qu'il faille chercher du côté des suites géométriques je vais essayer. Pour la d. on m'a parlé des logarithme mais on ne les a pas encore étudiés, quelqu'un peut confirmer ou me donner une autre piste? Merci.

[Vladiris]

Un ptit appel à l'aide =) :stupid_in

[hellow3]

A. Montrer par récurence la proposition P(n): 0.1 <= Un <= 3/8

Un raisonnement par récurence c'est:

* Démontrer P(0).
* On suppose que P(n) est vraie.
Il faut montrer P(n+1) : 0.1 <= U(n+1) <= 3/8
Pour cela, utilise la définition de Un.

*Conclusion: Si P(0) est vraie et que P(n) implique P(n+1) alors par récurence, on peut dire que P(n) est vraie quel que soit n>=0

B.c. Raisonnement par récurence.
d. Utilise le résultat de la question précédente.

[Vladiris]

Justement en partant de Un et en le multipliant de telle sorte à arriver à Un+1 j'arrive à un truc du genre:
1.6*0.1(1 - Un) <= Un+1 <= 1.6*(3/8)(1 - Un).

Si tu pouvais au moins me dire comment tu débutes parce que visiblement je procède pas vraiment comme il faut.

[hellow3]

Non quand tu fais un encadrement, prends ton temps et détailles.

Tu veux montrer que 1.6*(5/8 -Un) (3/8 - Un) <= 0.84 *(3/8 -Un)

Un >= 0.1
-Un <= -0.1
...

[Vladiris]

En suivant ce raisonnement ça me donne:
1 - Un <= 1 - 0.1
1.6*Un(1-Un) <= 1.6*0.9*Un
donc Un+1 <= 1.6*0.9*Un.

J'ai du loupé quelque chose :/

[hellow3]

Tu veux montrer que 1.6*(5/8 -Un) (3/8 - Un) <= 0.84 *(3/8 -Un)

Un >= 0.1
-Un <= -0.1
5/8 - Un <= 5/8 -0.1
Comme 1.6>0; 1.6*(5/8 - Un) <= 1.6*(5/8 -0.1)

...

[Vladiris]

Je comprends pas ta démarche, j'arrive pas à retrouver l'énoncé dans ton début :triste: . Désolé si j'ai du mal...La B.b j'ai réussi avec Un = 0.10. Mais je vois pas quelle question concerne ce que tu m'a mis plus haut.

[hellow3]

Excuse moi, j'ai cru que t'en étais encore à B.b... Désolé.

Je me perds un peu dans ce que tu fais moi aussi.

Pour B.c. , je comprend pas ton problème de passage de Pn à Pn+1.
Tu peux me le détailler.

1. écrit P(n)
2. ce que tu veux démontrer: P(n+1)

[Vladiris]

P(n): 3/8 - Un+1 <= 0.84(3/8 - Un)
P(n+1): 3/8 - Un <= 0.84^n

Je pense qu'il faut retrouver Un+1 en partant de Un mais là ou je bloque c'est l'exposant...

[hellow3]

Non.

Tu as apparement beaucoup de mal avec les récurences.

P(n) : 0 <= 3/8 - Un <= 0.84^n
P(n+1) :0 <= 3/8 - U(n+1) <= 0.84^(n+1)

[hellow3]

?????

Ca va?

[Vladiris]

Eu....non pas du tout :triste:
Je vois pas comment on peut prouver un tel truc étant donné que l'exposant s'immisce dans l'expression sans aucunes indications. Enfin là j'essaye au brouillon, affaire à suivre dans 10-15 minutes.

[Vladiris]

Donc en gros je pars de P(n) : 3/8 - Un <= 0.84^n pour ensuite:
P(n) : 3/8 - Un + 1 <= 0.84^n + 1
<=> 1.6*(3/8)*Un - Un+1 <= 1.6*Un*0.84^n + 1.6*Un

Et là je vois pas ce que je dois faire. J'ai encore pas fait comme il fallait je suppose?

[hellow3]

Te casses pas la tête 10-15 minutes.

C'est évident.
Y a un truc que tu dois pas comprendre dans le principe de la récurence. Je suis désolé, j'aimerais bien t'aider...

Je vais réessayer.
Principe de la récurence: On veut démontrer que la proposition P(n) : 0 <= 3/8 - Un <= 0.84^n est vraie quel que soit n.

1. On montre qu'elle est vraie au rang 1.
à savoir que 0 <= 3/8 - U1 <= 0.84^1

C'est le résultat de la question 3. qu'on a déjà montré.

2. On SUPPOSE P(n) vraie i.e. P(n) : 0 <= 3/8 - Un <= 0.84^n est vraie
et on veut montrer que dans ce cas, ou P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie.

La question b. nous dit que 0 <= 3/8 - U(n+1) <= 0.84 *(3/8 - Un)

Comme P(n) est vraie, tu sais que 3/8 - Un <= 0.84^n
Donc:
0 <= 3/8 - Un <= 0.84 *(3/8 - Un) <= 0.84 * (0.84^n)

donc:0 <= 3/8 - Un <= 0.84 ^(n+1)

? OK?

[hellow3]

Désolé, j'ai mis plus de temps que toi pour écrire mon msg. lis-le. Je reste ici.