Exercice sur les suites | Première S

[Frizelta]

Salut, j'aurais besoin d'aide pour trois questions au sujet d'un exercice. Cela fait une heure que je cherche mais je tombes â chaque fois sur une réponse différente et la suite de l'énoncé m'informe qu'elles ne sont pas correctes:

Voici l'énoncé:
Dans un carré de côté 1cm, on construit un triangle rectangle isocèle de côté 1cm également. Puis dans le carré de coté 1/2cm situé en haut à droite on construit de même un triangle rectangle de côté 1/2cm. Et ainsi de suite, indéfiniment.
(Je joins sur un nouveau post le lien qui mènera a une image de la figure)

Problème: Quelle proportion de l'aire du carré initial représente la somme des aires de cette infinité de triangles ?

1. On note a1 l'aire du premier triangle, a2 celle du second, etc. Quelle est la nature de la suite (an) ?
- La suite (an) est une suite géométrique de raison q=1/4.

2. En déduire l'expression de an en fonction de n.
- Je suis bloqué. Originalement j'avais marque que an= a1 x (1/4)^n mais cela me parait faux

3. Montrer que a1 + a2 + ... + an = 2/3 x ((1-(1/4)^n).
- Faut-il se servir de: Up x (1-q^(n-p+1))/(1-q) ?

4. Conclure.
- Hélas cette étape m'est encore une fois impossible sans votre aide

Merci bien à celui ou celle qui pourra m'aider.
Frizelta

[Frizelta]

Voilà le lien,
http://image.noelshack.com/minis/2016/1 ... 420338.png

Encore merci a ceux qui pourront répondre

[capitaine nuggets]

Salut !

1. Ok, après attend-t-on que tu le justifies ? Dois-tu montrer que pour tout , , où dois-tu simplement conjecturer ?

2. Part tout bêtement de ce que tu sais d’après la question 1.. Commence par remarquer que :



et remonte les calculs jusqu'à obtenir en fonction de et (d'après les premières égalités, sera surement de la forme , où est une constante qu'il faudra préciser).

3. Oui, il s'agit d'une somme de termes consécutifs de la suite qui est géométrique, tu n'as donc pas le choix

Remarque : Tu peux retrouver grâce à cette question. En effet, on te donne une expression de donc tu peux en déduire une expression de et ainsi en déduire l'expression de puisque .

4. Même si tu n'as pas réussis à faire les questions précédentes, cela ne t'empêche absolument pas de répondre à cette question. représente la somme des premiers triangles isocèles donc la limite lorsque tend vers l'infini de cette somme représente exactement la somme des aires de cette infinité de triangles. Il te faut donc calculer la limite de lorsque n tend vers l'infini en utilisant la formule de la question précédente (plus pratique pour calculer la limite).

[Frizelta]

Mes profondes excuses pour cette réponse si tardive mais j'ai constaté avoir oublié de mentionner que j'étais en cours jusqu'à 17h30 sans interuption

Merci, ta réponse m'a permis de progresser et terminer mon devoir:
1. Pour la première question il suffit de faire ce que j'avais déjà fait. Le professeur me l'a confirmé cet après-midi

2. Pour la deux d'après les formules que l'on à écrites en classe et surtout d'après tes explications je suis arrivé à:
an = 1/2 x (1/4)^(n-1)

On remarque la présence de la formule
Un = u1 x q^(n-1)

3. Pour cette troisième question je suis donc parti de la formule S= Up x (1-q^n-p+1)/(1-q) et comme je suis parvenu à retrouver la donnée de l'énoncé je pars du principe avoir résonné correctement.

4. Pour la dernière question j'hésite encore:
J'ai mis que d'après le résultat trouvé dans la question précédente (il s'agit de 2/3 x (1-(1/4)^n)) on peut conclure que la proportion de l'aire du carré initial que représente la somme des aires de l'infinité de triangles est de 2/3.
Est-ce juste ?

Calculer des limites est vraiment mon point faible. Je n'arrives pas à trouver une méthode pour y parvenir. Pourrais-tu m'expliquer plus précisémment ce quon attends de moi sur cette question ?

Frizelta

[capitaine nuggets]

Salut !

4. Tu cherches donc :



Si jusque là il n'y a pas de problème, il ne reste plus qu'à connaître un résultat (qui doit figurer dans ton cours) qui dit que, pour réel, la limite :
1) existe si et vaut :
a) 0 si ;
b) 1 si .
2) existe et vaut lorsque .
3) n'existe pas quand .

donc d'où la limite voulue.