Exercice sur les suites géométriques

[_lucas_4]

Bonjour j'ai une question a propos d'une exercice sur les suites.
La question est Vn=Un-n
Or on a Un+1=0.4Un+0.6n+1
Il faut prouver que la suite Vn est géométrique
Donc déjà j'ai calculé Un
Un=0.4Un-1+0.6*(n-1)+1
= 0.4Un-1+0.6n-0.6+1-n
=0.4Un-1-0.4n-0.4
Donc Vn= (0.4U(n-1)-0.4n-0.4)
Je ne comprends pas que faire ensuite
Que dois je faire? Merci

[Ncdk]

Bonjour j'ai une question a propos d'une exercice sur les suites.
La question est Vn=Un-n
Or on a Un+1=0.4Un+0.6n+1
Il faut prouver que la suite Vn est géométrique
Donc déjà j'ai calculé Un
Un=0.4Un-1+0.6*(n-1)+1
= 0.4Un-1+0.6n-0.6+1-n
=0.4Un-1-0.4n-0.4
Donc Vn= (0.4U(n-1)-0.4n-0.4)
Je ne comprends pas que faire ensuite
Que dois je faire? Merci

Bonjour,

Comment tu prouves qu'une suite est géométrique ?

[_lucas_4]

Il faut prouver qu'il y a un réel q tel que Un+1=Un*q
Or là il n'y a pas de Vn+1=Vn*q c'est pour ça que je bloque :/
J'ai calculé Vn+1=0.4Un-0.4(n+1)-0.4
Vn+1=0.4Un-0.4n-0.8

[L.A.]

Bonjour,

que vaut V_{n-1} ? quel est le lien entre V_n et V_{n-1} ?

[_lucas_4]

Vn-1=0.4Un-2-0.4(n-1)-0.4
Vn-1=0.4Un-2-0.4n
Le lien c'est 0.4*Un non?

[_lucas_4]

Ah je crois que je commence à comprendre
Vn=Un-n
Vn+1=0.4Un+0.6n+1-(n+1)
Vn+1=0.4Un-0.4n

[_lucas_4]

Ah et donc ça fait 0.4(Un-n) donc 0.4Vn

[L.A.]

Ce qui te permettrait de conclure, c'est de recoller tous tes calculs pour avoir un résultat du type



pour un q indépendant de n qui sera la raison de ta suite.

[L.A.]

C'est bien ça.

[_lucas_4]

Voilà j'ai presque fini maintenant j'ai une derniere question
La question est :
On designe par Sn la somme définie pour n>=0 par : Sn= Eui=u0+u1+...+Un où E est le symbole de la somme
Avec Un= 1.5*0.4^n+n
Il faut que je trouve la formule pour trouver les termes de la somme Sn
Je ne comprends vraiment pas là

[L.A.]

Tu peux décomposer ta somme en deux parties.

Calcule d'un côté la somme des 1.5*0,4^n, d'un autre coté la somme des n, puis ajoute les deux.

[_lucas_4]

La somme des 1.5*0.4^n=1.5*(1-0.4n+1)/(1-0.4)
Celle des n+1=(n+1)(1)/2
C'est bon pour l'instant?

[L.A.]

La somme des 1.5*0.4^n=1.5*(1-0.4n+1)/(1-0.4)
Celle des n+1=(n+1)(1)/2
C'est bon pour l'instant?

OK pour la première (si le n+1 est bien en puissance du 0.4), par contre pas pour la deuxième.

1+2+3+....+n = ?

[_lucas_4]

OK pour la première (si le n+1 est bien en puissance du 0.4), par contre pas pour la deuxième.

1+2+3+....+n = ?

n(n+1)/2
Oui il est bien en puissance

[_lucas_4]

Donc ça donne
Sn=1.5*(1-0.4n+1)/(1-0.4)+n(n+1)/2

[L.A.]

Tout ça me semble correct (pour le 1,5 ça dépend des termes initiaux que tu ne m'as pas donné)

[_lucas_4]

Donc par exemple pour S1=3.1
Or U0=1.5 (desole je n'avais pas donné) U1= 1.6 U0+U1= 3.1
Donc la formule a l'air bonne
La raison est 0.4

Je pense donc que ma prof s'est trompée a la fin car elle nous dit que Sn doit etre egal à
Sn=2.5(1-0.4^n+1)+n(n+1)/2
Je ne vois pas du tout d'où peut venir le 2.5 et où est passé la fraction

[L.A.]

c'est bon aussi puisque 1,5/0,6 = 2,5 :zen:

[_lucas_4]

Ah oui !! qu'est ce que je suis bête
Merci :)