Exercice sur les suites géométriques

par **zouenzo** » 03 Mai 2006, 16:18

[FONT=Georgia]j'ai un exo de maths qui me pose légérement problème!

Alors je vous mets l'énoncé et puis après ce que j'ai trouvé et là où j'y arrive pas :

u et v son deux suites définies par Uo=1 et Vo=2 et pour tout entier n; Un+1=(Un+2Vn)/3 et Vn+1=(Un+4Vn)/5 (Un+1 et Vn+1 désignent le terme de rang suivant mais je sais pas faire les exposants du bas)

1. Pour tout n on pose Wn=Vn-Un
a) démontrer que la suite w est géométrique
b)Exprimer Wn en fonction de n

2. Pour tout n on pose tn=3Un+10Vn
démontrer que la suite t est constante

3.Déduire des questions précédentes, l'expression de Un puis de Vn en fonction de n

4. étudier la convergence des suite u et v.

Voilà, alors en fait j'ai fait la 1, j'ai trouvé que c'était une suite géométrique de raison q = 2/15 mais après gros trou!

Je sais pas comment exprimer en fonction de n, et puis le convergence je sais faire mais sans avoir l'expression des suites bof bof...

est ce que vous pourriez m'expliquer? merci[/FONT]

par **theluckyluke** » 03 Mai 2006, 16:42

je n'ai pas vérifié mais si Wn est une suite géométrique de raison q=2/15, alors tu peux mettre Wn en fonction de n, d'apres la formule : Wn = W0*(q)^n

par **titine** » 03 Mai 2006, 16:46

zouenzo a écrit:[FONT=Georgia]j'ai un exo de maths qui me pose légérement problème!

Alors je vous mets l'énoncé et puis après ce que j'ai trouvé et là où j'y arrive pas :

u et v son deux suites définies par Uo=1 et Vo=2 et pour tout entier n; Un+1=(Un+2Vn)/3 et Vn+1=(Un+4Vn)/5 (Un+1 et Vn+1 désignent le terme de rang suivant mais je sais pas faire les exposants du bas)

1. Pour tout n on pose Wn=Vn-Un
a) démontrer que la suite w est géométrique
b)Exprimer Wn en fonction de n

2. Pour tout n on pose tn=3Un+10Vn
démontrer que la suite t est constante

3.Déduire des questions précédentes, l'expression de Un puis de Vn en fonction de n

4. étudier la convergence des suite u et v.

Voilà, alors en fait j'ai fait la 1, j'ai trouvé que c'était une suite géométrique de raison q = 2/15 mais après gros trou!

Je sais pas comment exprimer en fonction de n, et puis le convergence je sais faire mais sans avoir l'expression des suites bof bof...

est ce que vous pourriez m'expliquer? merci[/FONT]

Exact : (Wn) est une suite géométrique de raison q = 2/15.
Donc Wn = W0 * q^n = (2/15)^n.
On montre que tn est constante (tn+1 = tn = t0 = 23)
Donc 3Un+10Vn = 23
On en déduit vn en fonction de un.(*)
On a Wn=Vn-Un = (2/15)^n. On remplace vn par (*)
On obtient un en fonction de n.
Puis vn en fonction de n ...

Je ne suis pas sûre d'avoir été très clair ...!
Dis moi si tu t'en es sorti avec mes explications.

par **zouenzo** » 03 Mai 2006, 17:10

je n'ai pas bien compris comment démontrer que la suite est constante, c'est parce que la raison vaut 1? mais je n'est pas compris le raisonnement
je n'ai pas non plus compris ce que veut dire (*)

par **fonfon** » 03 Mai 2006, 17:29

Salut, le * c'est la signe multiplier de ton clavier

sinon pour montrer que

est constante il faut montrer que

donc

est constante

par **Daragon geoffrey** » 03 Mai 2006, 17:37

slt
pour Wn c juste on a donc Wn=(2/15)^n, puis pour montrer que Tn est constante montre que T(n+1)=Tn, c assez rapide ! enfin tu obtients le système Vn-Un=(2/15)^n
3Un+10Vn=k, où k est la constante ! tu le résouts par substitution pour identifier Un et Vn en fct de n, sauf erreur de ma part tu dois avoir Un=(k-10*(2/15)^n)/13, et Vn=(k+3*(2/15)^n)/13 : ensuite pour la convergence, il te faut montrer que les 2 suites sont bornées (majorées ou minorées ou les deux) et montrer qu'elle sont monotones ! par exemple pour Un=(k-10*(2/15)^n)/13 on considère la fct f(x)=(k-10*(2/15)^n)/13 implique f'=(-10/13)*ln(2/15) *(2/15)^x strictement positif pour tt x de R donc de N donc f croissante équiv à Un croissante pour tt n de N, de plus par définition on a l'encadrement [k-10]/13 sup (ou =) à Un sup (ou =) à [k-(4/3)]/13, donc Un bornée et Un croissante avec lim Un=k/13 donc Un convergente! j'te laisse terminer @ +

par **Daragon geoffrey** » 03 Mai 2006, 17:38

a bon j'sui trop tard dommage !

par **zouenzo** » 03 Mai 2006, 17:57

ok merci beaucoup!! :) ça y est j'ai compris! re merci!

par **titine** » 03 Mai 2006, 17:59

zouenzo a écrit:je n'ai pas bien compris comment démontrer que la suite est constante, c'est parce que la raison vaut 1? mais je n'est pas compris le raisonnement
je n'ai pas non plus compris ce que veut dire (*)

La suite (tn) est constante car on montre que tn+1 = tn (donc tous les termes de cette suite sont égaux.)

Explication du (*) : j'ai écrit :
"Donc 3Un+10Vn = 23
On en déduit vn en fonction de un.(*)
On a Wn=Vn-Un = (2/15)^n. On remplace vn par (*)"
En fait tu trouves : Vn = 1/10 (23 - 3Un). Donc tu peux remplacer Vn par
1/10(23 - 3Un).
Ce qui va donner 1/10(23 - 3Un) - Un = (2/15)^n.
En arrangeant cette égalité tu vas obtenir Un en fonction de n ...

Compris ?

par **zouenzo** » 03 Mai 2006, 18:18

euh, désolée j'ai encore un petit problème sur un exo (je sais ça fait beaucoup mais bon...)
donc l'énoncé c'est EFG est un triangle rectangle en E tel que EF=3 et EG=4
a) construire le barycentre D de (F, 4) et (G, 3) et le barycentre de (F, 4) et(G, -3)
b) en déduire l'ensemble des points M tels que : (4MF+3MG).(4MF-3MG) où MF et MG sont des vecteurs.
c) justifier que le point E appartient à cet ensemble

alors moi j'ai trouvé pour la première FD = 3/7 FG et FH = -3/7 FG
pour la deuxième j'ai fait, un produit est nul si l'un des facteur est nul, donc soit M est barycentre de (F, 4) et (G, 3) soit M est barycentre de (F, 4) et (M, -3)
et par contre pour la dernière je vois pas du tout

par **titine** » 03 Mai 2006, 18:40

zouenzo a écrit:euh, désolée j'ai encore un petit problème sur un exo (je sais ça fait beaucoup mais bon...)
donc l'énoncé c'est EFG est un triangle rectangle en E tel que EF=3 et EG=4
a) construire le barycentre D de (F, 4) et (G, 3) et le barycentre de (F, 4) et(G, -3)
b) en déduire l'ensemble des points M tels que : (4MF+3MG).(4MF-3MG) où MF et MG sont des vecteurs.
c) justifier que le point E appartient à cet ensemble

alors moi j'ai trouvé pour la première FD = 3/7 FG et FH = -3/7 FG
pour la deuxième j'ai fait, un produit est nul si l'un des facteur est nul, donc soit M est barycentre de (F, 4) et (G, 3) soit M est barycentre de (F, 4) et (M, -3)
et par contre pour la dernière je vois pas du tout

Non ! C'est un produit scalaire !
4 vec(MF) + 3 vec(MG) = 7 vec (MD) (prop fondamentale du bary)
4 vec(MF) - 3 vec(MG) = 1 vec (MH) (H étant le bary de (F,4) et (G ,-3))
Donc (4MF+3MG).(4MF-3MG) = 0 devient 7 vec(MG) . vec(MH) = 0
Le produit scalaire vec(MG) . vec(MH) est égal à 0 si les vecteurs MG et MH sont orthogonaux ...

par **zouenzo** » 03 Mai 2006, 19:57

attends, je suis pas du tout, là! comment ça se fait que ça s'additionne comme ça? (dsl ça fait longtemps que j'ai fait le barycentre), mais la première question ça va oupas?

par **titine** » 03 Mai 2006, 22:05

Oui : vec(FD)= 3/7 vec(FG)
Mais : vec(FH) = -3 vec(FG)

Propriété fondamentale du barycentre:
Si G est le bary de (A,a) et (B,b) alors pour tout point M :
a vec(MA) + b vec(MB) = (a+b) vec(MG)
démonstration:
a vec(MA) + b vec(MB) = a (vec(MG) +vec(GA)) + b (vec(MG) +vec(GB))
(c'est la relation de Chasles)
= a vec(MG) + b vec (MG) + a vec(GA) + b vec(GB)
Or a vec(GA) + b vec(GB) = vec(0) (définition du bary)
Donc a vec(MA) + b vec(MB) = (a+b) vec(MG)

Par conséquent dans l'exercice : 4 vec(MF) + 3 vec(MG) = (4 + 3) vec(MD)
car D est le bary de (F,4) et (G,3)

par **zouenzo** » 03 Mai 2006, 22:30

aah oui c'est vrai j'avais vu ça :/
ben merci beaucoup! ça va aller beaucoup maintenant!
je fais ça et pour le E je vois demain et tu me dis?

par **zouenzo** » 04 Mai 2006, 17:23

non mais en fait j'y arrive pas; tu as dit qu'il fallait que les vecteurs MG et MH soient orthogonaux pour que le produit scalaire soit nul. Mais si on prend le point E pour M ça marche pas : c'est EG et EF qui sont orthogonaux et non EG et EH. je comprend pas :(

par **zouenzo** » 04 Mai 2006, 21:44

ouuuuuh n'y aurait-il personne pour venir à mon secour? :triste: :cry:

par **Daragon geoffrey** » 04 Mai 2006, 22:00

slt
pour résoudre ton problème, place toi ds le repère orthonormé du plan centré en E(0;0) alor on a F(0;3) et G(4;0) ! bon pour la construction desbarycentres, je pense que ça devré aller ! pour la suite , tu peux alor exprimer les coordonnée des ensembles "4MF+3MG" (notée X) et "4MF-3MG" (notée Y)en fct de M(x;y) ! l'égalité imposée correspond o produit scalaire de ces 2 expressions vectorielles : qui est donné (par définition) par la somme des produits des coordonnées de ces 2 expressions soit encore : avec X(12-7x; 12-7y) et Y(-(x+12); 12-y) alor tu obtients X.Y=-(x+12)(12-7x) + (12-7y)(12-y)=0 ! tu dois trouver l'équation d'un cercle aprè développement ! @ +

par **Daragon geoffrey** » 04 Mai 2006, 22:01

a oui pardon pour la suite E(0;0) tu vérifies simplement que les coordonnées de E satisfont l'équation du cercle trouvée précédemment ! @ +

Exercice sur les suites géométriques

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