Exercice sur les suite (niveau 1er S)

[jo6280]

Bonjour j'ai un exercice a faire et je bloque un peu,je vous donne l'énoncer et ce que j'ai trouver!


On considére la suite (un) définie sur N par :
- le permier terme uo = 1
- la relation de récurence un+1 = un + 2n + 1

1 ] A l'aide d'une calculatrice donner les dix premiers termes de cette suite.

2 ] Etudier le sens de variation de cette suite.

3 ] On considère la suite (vn) définie sur N par : vn = un - 1 pour tout n £
N.Calculer les premiers termes de (vn).Quelle conjecture peut-on formuler à propos de l'expression fonctionnelle de (un)?
-Vérifier que cette conjecture est réalisée pour un entier n=0
-Démontrer que si cette conjecture est réalisée pour un entier n alors elle l'est pour un entier n+1.
En déduire que de proche en proche la conjecture est réalisée pour tout n £ N

[jo6280]

Pour la question 1]

[CENTER]u0=1
u1=2
u2=5
u3=10
u4=17
u5=26
u6=37
u7=50
u8=65
u9=82[/CENTER]

[jo6280]

Pour la question 2 il faut faire:

un+1-un
=un+2n+1-un
=2n+1

La suite est donc croissante car 2n+1 > 0

[jo6280]

Mais la question 3] je n'ai RIEN compris =s
Quelqu'un peut m'aider ?? :we:

J'ai calculer les premiers termes :

v0=0
v1=0
v2=1
v3=4
v4=9

Après je ne sait pas quoi faire !

[uztop]

Salut,

pour commencer, ce que tu as répondu pour les deux premières questions est juste.
Pour la suite,
vn = un-1
Donc
v0=0
v1=1
v2=4
v3=9
v4=16
v5=25
v6=36
v7=49
v8=64
v9=81

Qu'est ce que tu constates dans cette suite? Faire une conjecture, ca veut dire, dire: j'ai l'impression que vn = qqch qui dépend de n
qqch qui dépend de n signifie quelque chose du genre vn=2n+1 (ce n'est pas la réponse ici mais tu devrais pouvoir trouver facilement)

[uztop]

Mais la question 3] je n'ai RIEN compris =s
Quelqu'un peut m'aider ?? :we:

J'ai calculer les premiers termes :

v0=0
v1=0
v2=1
v3=4
v4=9

Après je ne sait pas quoi faire !

Il y a une erreur dans ton calcul: il suffit de prendre la suite que tu as calculé tout à l'heure et enlever 1 à chaque fois au résultat

[jo6280]

Ah oui :/ merci je vais corriger tout de suite !

v0=0
v1=1
v2=4
v3=9
v4=16
v5=25
ect...

Pour la conjecture ( maintenant que tu m'as expliquer ce que c'est ) j'ai compri comment sa marche mais je ne vois pas trop ce que sa pourais être,parce que la je cherche avec les puissance des termes précédents mais sa me donne des résultat bizarre alors sa doit être autre chose,tu peut m'aider un pti peu plus pour cette partie de question pour que je trouve la réponse ? ^^

[uztop]

Il ne faut pas chercher de trucs compliqués, le résultat est très simple. Ca ne doit dépendre que de n (avec éventuellement des puissances), mais pas des termes précédents

[jo6280]

J'ai trouver ^^ vn=n² Mercii =D

[jo6280]

Donc la on doit ensuite dire que pour n=0 mais on vien de trouver que vn=n² donc je comprend pas trop là :triste:

[jo6280]

J'aurais dit v0=0²=0 mais euh je doute vraiment que sa soit sa la réponse

[uztop]

Oui c'est ça. C'est une conjecture, on a juste supposé que c'est vrai, il faut maintenant le démontrer.
Pour n=0 donc
v0 = u0-1 = 1-1 =0
Pour vn = n², on a v0 = 0² = 0 , ça marche !
La conjecture est donc vraie au rang 0. Reste maintenant à démontrer que si elle est vraie au rang n, elle le sera aussi au rang n+1. De cette façon, de proche en proche, on montrera que c'est vrai pour tout n

[uztop]

J'aurais dit v0=0²=0 mais euh je doute vraiment que sa soit sa la réponse

Oui c'est juste, tu as répondu pendant que j'étais en train d'écrire

[jo6280]

^^


donc là il faut dire la même chose avec n ?
vn = un-1
vn+1 = un+1 -1
vn+1 = un+2n+1 -1
vn+1 = un+2n

Je crois que c'est sa car c'est la seule chose qui m'est venue en tête quand tu m'as donner des indices =)
Et donc là on dit que comme sa marche pour tout n et pour n+1 alors pour tout les termes la conjecture est réalisée.

[uztop]

dans ta formule, tu peux remplacer un par vn + 1. Tu pourras ensuite remplacer vn par sa valeur (on a supposé que vn = n²)

[jo6280]

vn = un-1
vn+1 = un+1 -1
vn+1 = un+2n+1 -1
vn+1 = un+2n
vn+1 = vn+1 +2n
vn+1= n² +1 + 2n

Euh jsuis pas sur d'avoir tout compris =s

[uztop]

Oui, tu ne reconnais pas une identité remarquable là ?

[jo6280]

Non mais je reconnais une forme canonique!
Il faut utiliser delta

vn+1= n² +1 + 2n

delta = 2² - 4 * 1*1
= 4-4
= 0
une seule racine --> -b/2a -2/2 = -1
1(x-1)²

euh jsé pa si c'est sa :s

[uztop]

euh, (a+b)² = a²+2ab+b²
tu n'arrives pas à appliquer ça ici ?

[jo6280]

(a+b)² = a²+2ab+b²

n² + 2n + 1 = (n+1)²