Exercice sur les primitives

[The fifi]

Bonjour ,

J'ai cet exercice à faire et je voudrais avoir une aide.
Pour le moment je vous poste mon sujet et dans mon deuxième poste ce sera ce que j'ai fait .
Merci d'avance pour l'attention que vous porterez a ce sujet.

On se propose d'étudier les fonctions f dérivables sur [ 0 ; +infini[ vérifiant la condition :

(1) {pour tout x € [ 0 ; +infini[ f(x) f'(x) = 1
{f(0) = 1

Partie A :

ON suppose qu'il existe une fonction f qui vérifie (1) .
La méthode d'Euler permet de construire une suite de points (Mn) proches de la courbe représentative de la fonction f.
On choisit le pas h= 0.1
Justifier que les coordonnés (xn, yn) des points Mn obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient :
{xo = 0 { xn+1 = xn + 0.1
{yo = 1 et { yn+1 = yn + 0.1/yn pour tout entier naturel n.

Calculer les coordonnées des points M1,M2, M3, M4 ,M5 (on arrondira au millième les valeurs trouvées).


Partie B :

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [ 0 ; +infini[.
1. Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur [ 0 ; +infini[.
2. On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel a strictement positif tel que f(a)<0.
En déduire que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0, a].
3. Conclure.

Partie C : Existence et unicité de la fonction f.

1. Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu' sur cet intervalle.
2. En déduire que si f est telle que , pour tout x de [ 0 ; +infini[ , f(x)f'(x) = 1 alors il existe une constante C telle que : pour tout x de [ 0 ; +infini[ , (f(x))² = 2x+C.
3. On rappelle que f(o) = 1. Déterminer l'expression de fx) pour x réel positif.
4. En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1), f(0.2), f(0.3), f(0.4), f(0.5), puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d'Euler.

[The fifi]

Bonsoir,
Je n'arrive pas à mettre en application Euler car en fait je ne vosi pas à quoi f(x) est égal !! car dans mon cours c'est F' = f connu donc c'est plus simple alors qu'ici f'(x) = 1/ f(x) !!
Merci

[The fifi]

Pour partie A je pense avoir trouvé :
M1 x1 = x0 + h = 0+0.1 = 0.1
y1 = y0 + (0.1/y0) = 1 +( 0.1/1) = 1.1

M2 x2= x1 + h = 0.1 +0.1 = 0.2
y2 = y1 + (0.1/ y1) = 1.1 + ( 0.1/ 1.1) = 1.191

ainsi de suite pour les autres points

Pou la partie B :
1. Si f s'annule sur [ 0 ; +infini[ on aurait f(x) =0 or ici f(x) = 1/ f'(x) donc 1 / f'(x) est différent de 0
donc ell ne s'annule pas.

Pourriez vous me dire si ce que j'ai fait est bon ?!
Merci