Exercice sur les fonctions dérivées

[Akabne101]

Salut à tous,j'ai un problème pour résoudre un exercice sur les fonctions dérivées et j'aimerais bien un tit coup de main!

Voici l'énoncé:

Dans un repère,P est la parabole d'équation Y=X².
m est un réel et M est le point d'abscisse m.



a)a est un réel, écrire l'équation de la droite Delta passant par M et de coéf.directeur a.
b) Démontrer qu'étudier le nombre de points d'intersection de Delta et P revient à résoudre l'équation :
(1) X²-ax+am-m²=0
c) Discuter suivant a, le nombre de solutions de (1).
d) Quelle est la droite Delta qui coupe P en un seul point?

[Noemi]

M(m; m^2)
Equation réduite de la droite y = ax+b
Comme M appartient à la droite m^2 = am+b, soit b = m^2-am
Donc équation de la droite y = ax + m^2 - am

Je te laisse poursuivre.

[Akabne101]

Ok^^
Sinon ne faut-il pas passer par les dérivées de fonction?
Donc dans ce cas ça serait F(x)=x² donc F'(x)=2x

Sinon pour la a)j'ai compris!

On a M(m, m²) situé sur F
L'équation de la droite Delta est de la forme y=ax+b
Donc m²=am+b
b=m²-am

Donc l'équation de la droite est y=ax+m²-am.

Après pour la b) est ce que cela correspond :?

On sait que P est la parabole d'équation y=x² et que Delta est la droite passant par M d'équation y=ax+m²-am
Donc pour trouver les points d'intersections entre P et Delte on doit résoudre l'quation ax+m²-am=x² soit -x²+m²-am+m²=0 soit x²-ax+am-m²=0

Pour la c) le début correspondrait à :
On sait que pour trouver le nombre de point d'intersections entre Delta et P on doit résoudre l'équation x²-ax+am-m²=0
Mais après je vois pas xD^^

[Noemi]

Calcule le discriminant et analyse son signe par rapport à a.

[Akabne101]

Soit G la fonction défini par G(x)=x²-ax+am-m²=0
ici a=1, b=-a et c=+am-m²
Delta=(-a)²-4*1*(am-m²)
=a²-4am+4m²
Le calucul du discriminant est-il bon?
Si oui, après comment peut-on l'analyser?
a² est toujours positif, 4m² aussi.
Donc il faut résoudre -4am=0?

[Noemi]

Le calcul de Delta est juste.
delta =a²-4am+4m²
factorise le ; forme (x - y)²

[Akabne101]

factorise le ; forme (x - y)²

Delta=a²-4am+4m²
Il faut le factoriser grâce à la 2eme identité remarquable!
Donc: Delta=(a-2m)²
=a²-am+4m²

donc il faut étudier le sens de variation de (a-2m)²
a-2m=0
a=2m
Donc s={2m}

Après pour la 4) je comprends pas trop!
Cela ne serait-il pas la tangente en M?

[Noemi]

On cherche le nombre de points d'intersection.
si a = 2m, un seul point d'intersection,
si a différent de 2m, deux points d'intersection.

[Akabne101]

On cherche le nombre de points d'intersection.
si a = 2m, un seul point d'intersection,
si a différent de 2m, deux points d'intersection.

ok^^
Bah pour l'équation w²-ax+am-m²= 0 on a une solution qui est égale à 2m!
Donc il existe une seule et unique solution!

Et pour les 4) par contre?
Que faut-il faire?

[Noemi]

Pour le c)
si a = 2m, un seul point d'intersection,
si a différent de 2m, deux points d'intersection.
pour le d)

Dans l'équation de la droite Delta remplace a par 2m.

[Akabne101]

Pour le c)
si a = 2m, un seul point d'intersection,
si a différent de 2m, deux points d'intersection.
pour le d)

ok^^
Bah pour l'équation x²-ax+am-m²= 0 on a une solution qui est égale à 2m!
Donc il existe une seule et unique solution!

pour le d)
Dans l'équation de la droite Delta remplace a par 2m.

On sait que la droite delta=x²-ax+am-m²
Donc si a =2m on a:
G(x)=x²-ax+am-m²
=x²-2mx+2m²-m²
=x²-2mx+m²
Donc la droite Delta qui coupe P en un seul point est la droite d'équation y=x²-2mx+m²
Est-ce cela?

[Noemi]

L'équation initiale de la droite delta est : y = ax + m^2 - am
Donc si a = 2m
y = ...

[Akabne101]

L'équation initiale de la droite delta est : y = ax + m^2 - am
Donc si a = 2m
y = ...

Donc Y=2mx+m²-2m²
=2mx-m²
Donc la droite Delta qui coupe P en un seul point est la droite d'équation
y=2mx-m²

[Noemi]

Oui c'est le résultat.

[Akabne101]

ok^^
Donc voici la rédaction complète, Merci de me corriger les éventuelles erreurs!

a)On a M(m, m²) situé sur F
L'équation de la droite Delta est de la forme y=ax+b
Donc m²=am+b
b=m²-am
Donc l'équation de la droite est y=ax+m²-am.

b)On sait que P est la parabole d'équation y=x² et que Delta est la droite passant par M d'équation y=ax+m²-am
Donc pour trouver les points d'intersections entre P et Delte on doit résoudre l'quation ax+m²-am=x² soit -x²+m²-am+m²=0 soit x²-ax+am-m²=0

c)Soit G la fonction défini par G(x)=x²-ax+am-m²=0
ici a=1, b=-a et c=+am-m²
Delta=(-a)²-4*1*(am-m²)
=a²-4am+4m²

On le factoriser grâce à la 2eme identité remarquable.
Donc: Delta=(a-2m)²
=a²-am+4m²

Donc il faut étudier le sens de variation de (a-2m)
a-2m=0
a=2m
Donc s={2m}
PAr conséquent il existe un seul et unique point d'intersection entre les droites
Delta et P qui est le points 2m

d)L'équation initiale de la droite delta est : y = ax + m^2 - am
Donc si a = 2m
Y=2mx+m²-2m²
=2mx-m²
Donc la droite Delta qui coupe P en un seul point est la droite d'équation
y=2mx-m²


Voilà^^
Merce de me dire aussi les problèmes de rédactions si il y' en a.

[Help]

Bonjour,

Attention, tu ne réponds pas à la question c).
Relis-la : "nombre de points d'intersection en fonction de a"

Si a = 2m, il n'y a q'un point d'intersection

et pour les autres cas ?
si a>2m ?
si a<2m ?

Le signe du discrimant doit te donner la réponse

[Akabne101]

[quote="Help"]Bonjour,

Attention, tu ne réponds pas à la question c).
Relis-la : "nombre de points d'intersection en fonction de a"

Si a = 2m, il n'y a q'un point d'intersection

et pour les autres cas ?
si a>2m ?
si a0 car un ² est >0 sur R.

Or si le discriminant est >0 donc l'équation a deux solutions distinctes x1=(-B-Racine(Delta))/2a et x2=(-b+Racine(Delta))/2a

x1=(-a-Racine((a-2m)²))/2
=(-a-a+2m)/2
=(-2a+2m)/2
=-a+m

x2=(-a+Racine((a-2m)²))/2
=(-a+a-2m)/2
=-2m


donc si le discriminant est >0 on a deux solutions.
S={-a+m, -2m}

Par conséquent, il existe trois solutions selon a.
Si a=0 on a S={2m}
si a>0 on a S={-a+m, -2m}

Est ce -cela?
N'y a t-il pas d'autres erreur dans le reste de la rédaction?
Merci!

[Noemi]

Pour le calcul du discriminant, afin d'éviter les confusions, écrire a', b' et c' à la place de a, b et c
donc si a=2m on a une seule et unique solution .
Solution x = -b'/2a' = a/2 = 2m/2 = m
S={m}


On sait que le discriminant est a²-2am+4m² soit (a-2m)² par conséquent il est >0 car un ² est >0 ou nul sur R.

Or si le discriminant est >0, l'équation a deux solutions distinctes x1=(-B-Racine(Delta))/2a et x2=(-b+Racine(Delta))/2a

x1=(-a-Racine((a-2m)²))/2
=(-a-a+2m)/2
=(-2a+2m)/2
=-a+m

x2=(-a+Racine((a-2m)²))/2
=(-a+a-2m)/2
=-2m/2
= -m


donc si le discriminant est >0 on a deux solutions.
S={-a+m, -m}

Par conséquent, il existe trois solutions selon le discriminant
Si discriminant =0, soit pour a = 2m, on a S={m}
si discriminant >0 soit pour a-2m >0 ou a-2m < 0, on a S={-a+m, -m}

Quelques erreurs de frappe (je suppose) dans le reste.

[Akabne101]

Pour le calcul du discriminant, afin d'éviter les confusions, écrire a', b' et c' à la place de a, b et c
donc si a=2m on a une seule et unique solution .
Solution x = -b'/2a' = a/2 = 2m/2 = m
S={m}


On sait que le discriminant est a²-2am+4m² soit (a-2m)² par conséquent il est >0 car un ² est >0 ou nul sur R.

Or si le discriminant est >0, l'équation a deux solutions distinctes x1=(-B-Racine(Delta))/2a et x2=(-b+Racine(Delta))/2a

x1=(-a-Racine((a-2m)²))/2
=(-a-a+2m)/2
=(-2a+2m)/2
=-a+m

x2=(-a+Racine((a-2m)²))/2
=(-a+a-2m)/2
=-2m/2
= -m


donc si le discriminant est >0 on a deux solutions.
S={-a+m, -m}

Par conséquent, il existe trois solutions selon le discriminant
Si discriminant =0, soit pour a = 2m, on a S={m}
si discriminant >0 soit pour a-2m >0 ou a-2m < 0, on a S={-a+m, -m}

Quelques erreurs de frappe (je suppose) dans le reste.

Ok^^Merci beaucoup d'avoir passé du temps à répondre, je rédigerais tout ça au propre
Sinon pour les autres questions il n'y a pas d'autre grosses fautes/erreurs de calculs ou de compréhension?
Merci!

[Noemi]

Non, pas d'autres grosses fautes/erreurs de calculs ou de compréhension.