Exercice sur les équations

[Anonyme]

Bonjour !

Voici un exercice ou je bloque quelque peu :

Mr X veut faire un enclos rectangulaire. Pour cela il dispose de 21 mètres de grillages qu'il imagine utiliser ainsi : le mur du jardin formera un côté de l'enclos et le grillage les 3 autres côtés .
Pour se faire, il a placé un premier piquet en A; Il hésite maintenant sur l'emplacement du piquet en B. Il se demande si l'aire de son enclos sera la même quelle que soit la distance AB.



Question 1 ) L'aire de l'enclos sera t'elle la même quelle que soit la distance AB=x ?

==> Non car l'aire sera proportionnelle à la distance AB, elle varie donc en fonction d'elle.

Question 2 ) Vérifier en calculant pour AB=2m et AB=3m

AB = 2m :

==> Aire = AB * BC
= 2*(21-2*2)
= 21*17
= 34m²

AB= 3m :

==> Aire = AB * BC
= 3*(21-2*3)
= 3*15
= 45m²

L'aire varie donc en fonction de AB.

Question 3 ) Déterminer l'aire de AB en fonction de X, on notera cette fonction f(x), déterminer l'ensemble de définition de cette fonction pour notre cas réel

==> Pour f(x) je trouve -2x² + 21x
Par contre je n'ai pas bien compris " déterminer l'ensemble de définition".

Question 4 ) Quelles sont les dimensions de l'enclos pour optimiser la surface ?

Je bloque là aussi.

Pouvez vous m'aider ?

Merci :happy2:

[Manny06]

Bonjour !

Voici un exercice ou je bloque quelque peu :

Mr X veut faire un enclos rectangulaire. Pour cela il dispose de 21 mètres de grillages qu'il imagine utiliser ainsi : le mur du jardin formera un côté de l'enclos et le grillage les 3 autres côtés .
Pour se faire, il a placé un premier piquet en A; Il hésite maintenant sur l'emplacement du piquet en B. Il se demande si l'aire de son enclos sera la même quelle que soit la distance AB.



Question 1 ) L'aire de l'enclos sera t'elle la même quelle que soit la distance AB=x ?

==> Non car l'aire sera proportionnelle à la distance AB, elle varie donc en fonction d'elle.

Question 2 ) Vérifier en calculant pour AB=2m et AB=3m

AB = 2m :

==> Aire = AB * BC
= 2*(21-2*2)
= 21*17
= 34m²

AB= 3m :

==> Aire = AB * BC
= 3*(21-2*3)
= 3*15
= 45m²

L'aire varie donc en fonction de AB.

Question 3 ) Déterminer l'aire de AB en fonction de X, on notera cette fonction f(x), déterminer l'ensemble de définition de cette fonction pour notre cas réel

==> Pour f(x) je trouve -2x² + 21x
Par contre je n'ai pas bien compris " déterminer l'ensemble de définition".

Question 4 ) Quelles sont les dimensions de l'enclos pour optimiser la surface ?

Je bloque là aussi.

Pouvez vous m'aider ?

Merci :happy2:

si tu gardes la forme f(x)=x(21-2x) l'aire doit être positive or x est une longueur donc x>0 et
21-2x>0

ensuite mets le trinome sous forme canonique

[Rhambo]

Bonjour 444 !

Tu as déjà bien avancé, je vois...

"Déterminer l'ensemble de définition"

Dans ton exercice, x représente une distance en mètres, celle de la partie grillagée AB.
Peut-on avoir des valeurs négatives de x ? comme x = - 3 ?
Peut-on avoir des valeurs grandes de x ? comme x = 10 000 ?
Non, et non !

L'ensemble de définition, c'est les différentes valeurs que peut prendre cette variable x.
Le minimum est 0, et le maximum ? En regardant le schéma, on voit qu'on trouve x sur deux côtés de l'enclos rectangulaire : [AB] et le côté en face de [AB].
Or on n'a que 21 m de grillage. Quelle est la valeur maximale de x ?

Pour la réponse, on la donne sous la forme : Vmin < x < Vmax
ou bien : x appartient à l'intervalle ]Vmin ; Vmax[

"Question 4"

Là, ça dépendra de ce que tu as déjà appris.

- Si tu connais les dérivées, il faut calculer f'(x), voir la valeur qui annule f'(x), dresser un tableau de variation de f(x) puis constater que la valeur maximale sera obtenue pour cette valeur de x qui annule la dérivée.

- Si tu n'as pas travaillé sur la notion de dérivée, il faut tracer la courbe de f(x) après avoir dressé un tableau de valeurs de cette fonction, puis par lecture graphique, trouver une valeur approchée de l'endroit où la courbe atteint son maximum.

Voilà. Bonne recherche.

[annick]

Bonjour,
On peut envisager que ton rectangle s'aplatisse jusqu'à n'être plus qu'une ligne (c'est ce qui arriverait par exemple si B est en A).
Dans ce cas, entre quelle mesure et quelle mesure x peut-il être compris (au maximum et au minimum) ?
D'autre part, tu veux que ton aire soit maximale, donc que ta fonction soit maximale.
Tu peux trouver la valeur pour laquelle cela se produit en étudiant les variations de ta fonction, c'est-à-dire en étudiant sa dérivée.

[Anonyme]

Bonjour,

Merci à vous trois pour vos réponses ;)

Je fait cela et je poste pour me faire corrigé :)

Edit :

J'ai donc tracé la courbe f(x) = -2x² + 21x sur GeoGebra, l'ensemble de définition est donc ] 0 ; 10,5 [ ?

[Anonyme]

Je vois sur le graphique que la valeur maximale est 55 atteint en 5 donc si je remplace pour vérifier :

f(5)= -2*5²+21*5
= -50 + 105
= 55
Donc je peux en déduire les mesures optimale pour l'enclos qui vont être :

AB= 5 m
DC= 5 m

Et BC = 21-5-5=11m ( 5(21-5*2) = 11m

Est ce bien cela ?
Par contre je n'ai pas bien compris pour le tableau de signe et de variation de la fonction, je le prend avec l'intervalle trouvé précédemment ?

[annick]

Pour moi, l'ensemble de définition c'est [0, 21]. Il s'agit des valeurs que peut prendre x et non f(x).
D'autre part, as-tu vu les dérivées ou non ?

[Anonyme]

Non pas encore étudié :triste:

[morpho]

1. Df = [0;10,5] c'est l'endroit où x(21-x) >= 0 (ta surface >=0)
2. La surface maximum est atteinte en x=5,25 (soit on regarde la dérivée, soit la machine la donne) !!

[Anonyme]

D'accord donc ce n'est pas x=5 mais bien x= 5,25

Exercice résolut, merci pour toute vos réponses :)