Exercice sur les équations différentielles

[Lisandro]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour Vendredi et je bloque dessus. J'ai calculé la dérivée, mais je ne sais pas si je peut la simplifier. Du coup je peine à faire la Partie A.
Pour la partie B, je n'y arrive pas du tout, même sachant que les solutions sont les fonction f(t)=k*e^at - b/a

Partie A:

La fonction est définie sur l'intervalle 0;\infty par f(x)= (20x+10)*e^(-1/2x)

1. Etudier la limite en +\infty
J'ai réussi, je trouve 0.

2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation
Je trouve une dérivée égale à (20(e^(-1/2x))-(20x+10)(-1/2*e^
-1/2x))/(e^-1/2x)^2 . Je ne sais pas du tout si c'est simplifiable.

3. Etablir que l'équation f(x)=10 admet une solution unique, donner une valeur décimale à 0,01 près.
J'ai réussi avec le théorème des valeurs intermédiares.

4. Tracer la courbe représentant la fonction
Je l'ai fait sur calculette.


Partie B:

On note y(t) la valeur en degrés de la température d'une réaction chimique à l'insant t, t exprimé en heures. Les valeurs initiales sont t=0 et y(0)=10
On admet que la fonction qui à tout réel t appartenant à {0;\infty} associe y(t), est solution de l'équation différentielle:

(E)= y' +1/2y = 20e^-1/2t

1. Vérifier que la fonction f de la partie A est solution de cette équation différentielle.
Je sèche la dessus et sur le reste de l'exo.

2. a. On note g une solution de l'équation (E), définie sur {0;\infty}, vérifiant g(0)=10. Démonter que la fonction g-f est solution sur {0;\infty} de l'équation différentielle:
(E') = y'+1/2y = 0
b. Résoudre l'équation différentielle (E')

c. Conclure


3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend t-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondie à la minute.


Merci de votre aide.

[Anonyme]

Bonjour !

Je pense que tu as une erreur dans ta dérivée déjà.

f(x) = u(x) * v(x)
avec u(x) = 20x+10
et v(x)=e^(-1/2x)

f'(x) = u'v * v'u

or v'(x) = -1/2e^(-0,5x)

Moi je trouve une dérivée égale à:

(15 -10x)e^(-0,5x) il n'y a pas à simplifier

[Anonyme]

Petit rappel :

Théorème

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Alors e^u est dérivable sur I et :
(e^u)'=u' * e^u


;)