Exercice sur les écritures décimales d'un réel, Merci d'avan

[KIRKOU22101987]

J'ai fini la partie A question 1 et 2 :zen: mais je ne comprends vraiment pas la partie B, pourtant d'habitudes les suites c'est sans problèmes :hum: ... Je vous demande donc un peu d'aide pour résoudre cette exercice. Merci encore pour toute l'aide et le temps que vous consacrez.


A. La fonction partie entière

Pour tout réel x, on note E(x) l'unique entier vérifiant : E(x);) x<E(x)+1.
E(x) est donc le plus grand entier inférieur ou égal à x.

1. Tracer la représentation graphique de E pour x;) [-5;5] ; comparer avec celle que l'on obtient à la calculatrice (notée INT). Remarques ?
Quel est le sens de variation de E ?
2. Démontrer que, pour tout réel x,
1. 10E(x);)E(10x) (on pourra utiliser le sens de variation de E) ;
2. E(10x)<10E(x)+10. En déduire que : E(10x);)10E(x)+9.

B. Deux suites adjacentes

Pour tout réel positif x on définit les suites (an) et (bn) par :

an=10-nE(x.10n) et bn=an+10-n, pour tout entier naturel n.

1. Déterminer ai et bi pour i de 0 à 6 en prenant successivement x=;), puis x=8,53 puis x=3/7. Que représentent an et bn par rapport à x ? De quelle nature sont-ils ?
2. Vérifier que, pour tout entier naturel n : an;)x<bn.
3. Démontrer que la suite (an) est croissante (utiliser A2a. en remplaçant x par x.10n).
4. Démontrer que la suite (bn) est décroissante (utiliser A2b. en remplaçant x par x.10n).
5. Démontrer que (an) et (bn) sont adjacentes. Quelle est leur limite ?