Exercice sur les congruences

[Carine13]

Bonjour à tous.
Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spécialité qui me pose quelques soucis.

Voici l'énoncé complet :

On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a^2 où a est un entier naturel non nul; par exemple :
10 = 9 + 1^2; 13 = 9 + 2^2, ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1) Etude de l'équation d'inconnue a :
a^2 + 9 = 2^n, où a N, n N et n > ou = à 4.
a) Montrer que si a exsite, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2) Etude de l'équation d'inconnue a :
a^2 + 9 = 3^n, où a N, n N et n > ou égal à 3.
a) Montrer que si n > ou égal à 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p > ou égal à 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a^2 que l'équation proposée n'a pas de solution.

3) Etude de l'équation d'inconnue a :
a^2 + p = 5^n où a N, n N, n > ou égal à 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.
b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a^2 + 9 soit une puissance entière de 5.

J'ai fait quelques bricoles, mais je ne parviens jamais au résultat cherché...

Voila...
Merci d'avance à tous ceux qui viendront à mon secours!

[gol_di_grosso]

on va pas te faire tout l'exos dit ou ça bloque
pour la 1 suppose que k est paire c'est à dire k=2i