Exercice sur les composées de fonctions.

par **bigpogo** » 18 Jan 2007, 23:14

Bonsoir à tous.
J'ai un exercice sur les fonctions composées.
Je vous donne l'énoncé parce que je bloque vraiment...

On suppose que u est une fonction affine et que v est la fonction carrée. Est-il possible que les fonctions u°v et v°u soient égales ?

Merci d'avance.
A+

par **anima** » 18 Jan 2007, 23:22

bigpogo a écrit:Bonsoir à tous.
J'ai un exercice sur les fonctions composées.
Je vous donne l'énoncé parce que je bloque vraiment...

On suppose que u est une fonction affine et que v est la fonction carrée. Est-il possible que les fonctions u°v et v°u soient égales ?

Merci d'avance.
A+

u(x)=ax+b
v(x)=cx^2

u(v(x)) = acx^2+b
v(u(x)) = c(ax+b)^2
= c(a^2x^2+2abx+b^2)
Système d'équations à beaucoup d'inconnues :we:

par **bigpogo** » 18 Jan 2007, 23:27

Merci d'avoir répondu vite, mais je ne suis pas sur d'avoir tout très bien suivi... :hein:
Pourrais-tu me réexpliquer ?
Merci.

par **bigpogo** » 19 Jan 2007, 00:11

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour cet exercice svp ?
Même avec l'explication je suis toujours bloqué..

par **Frangine** » 19 Jan 2007, 00:23

u est une fonction affine donc u(x) est de la forme u(x) = ax + b

v est la fonction carrée donc v(x) = x^2

u et v sont égales si ax + b = x^2 pour tout x de IR

donc si x^2 - ax - b = 0 pour tout x de IR

Or quelle condition doivent vérifier les coefficients d'un polynôme pour qu'il soit nul pour tout x de IR

par **bigpogo** » 19 Jan 2007, 00:31

Frangine a écrit:Or quelle condition doivent vérifier les coefficients d'un polynôme pour qu'il soit nul pour tout x de IR

Désolé mais je suis vraiment pas bon en maths, je ne vois pas ce que tu veux dire :help:

par **annick** » 19 Jan 2007, 00:44

Bonsoir,
Désolée, Frangine, mais je crois que tu n'as pas vu qu'il s'agissait de fonctions composées. Pour Anima, je crois que la fonction carrée est simplement y=x².
Je vais donc essayer de reprendre le raisonnement d'Anima en te l'explquant le mieux possible :
La fonction affine est de la forme u(x)=ax+b et la fonction carrée v(x)=x² (la ce ne sont que des définitions que tu dois avoir dans ton cours)
Si l'on cherche u°v, cela se traduit par u(v(x)), c'est-à-dire qu'à chaque fois que tu rencontres x dans ta fonction u (ici une seule fois dans ax), tu vas remplacer x par v(x), soit u°v=u(v(x))=a(x²)+b
De même si tu cherches v°u, cela donnera v(u(x)), donc tu remplaceras les x de v par la fonction u, soit v°u=v(u(x))=(ax+b)²
As-tu suivi jusqu'à présent?

par **bigpogo** » 19 Jan 2007, 00:46

Oui jusque là tout est très clair. C'est la suite qui me pose problème.

par **annick** » 19 Jan 2007, 01:00

je ne te promets pas qu'on va arriver au bout car la résolution finale ne me parait pas encore claire, mais donc on continue et si déjà tu as compris comment fonctionnent les composées de fonctions ce sera toujours ça de gagné.
On en était donc à chercher s'il est possible que u°v=v°u, soit d'après ce que l'on a vu précédemment
ax²+b=(ax+b)²
Or (ax+b)²=ax²+2abx+b² (tu te souviens de l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b²)
Donc en égalisant les deux : ax²+b=ax²+2abx+b²
Soit en remettant tout du même côté de l'égalité : ax²+b-(ax²+2abx+b²)=0
Ce qui donne en arrangeant tout ça:-2abx-b²+b=0 soit -2abx=b²-b donc
x=(b²-b)/(-2ab), ce qui s'écrit plus proprement en mettant b en facteur au numérateur et au dénominateur x=(1-b)/2a
Finalement on est arrivés au bout, j'avais juste fait une petite erreur en y réfléchissant dans mon coin.
J'espère que cette dernière partie te paraitra aussi claire que le début

par **bigpogo** » 19 Jan 2007, 01:04

J'ai bien suivi la résolution. Mais ensuite comment dois-je répondre a la question de l'énoncé de l'exercice ?

par **annick** » 19 Jan 2007, 01:08

La réponse est oui ces fonctions u°v et v°u peuvent être égales si x=(1-b)/2a
Voilà, c'est aussi simple que ça
Bonne fin de soirée à toi, je pense que tu auras bien progressé ce soir car tu y a mis du tien

par **bigpogo** » 19 Jan 2007, 01:10

Super! Merci beaucoup de ton aide, elle m'aura été très précieuse.
Bonne fin de soirée aussi. Et encore merci.

par **Frangine** » 19 Jan 2007, 09:28

Je me suis peut-être trompée en lisant l'énoncé mais là il y a une erreur d'interprétation de la conclusion : on ne cherche pas une relatione entre x et a , b mais comment doivent être a et b pour que uov(x) = vou(x) pour tout x de IR

On arrive à : -2abx-b²+b=0 pour tout x de IR !

Or un polynôme est nul pour tout x de IR si ses coefficients sont tous nuls donc

il faut que -2ab = 0 et -b²+b=0 système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre

par **annick** » 19 Jan 2007, 09:39

Bonjour Frangine,
Tu as mis un doute dans mon esprit car hier soir il était tard quand nous avons fini.
Cependant si je cherche à résoudre ton système, je trouve a=0 b=0 ou b=1 ce qui me parait absurde.
Bonne journée à toi

par **fonfon** » 19 Jan 2007, 09:52

Salut annick, franchement je n'ai pas resolu le probleme mais il me semble qu'il y a une erreur

ax²+b=(ax+b)²
Or (ax+b)²=ax²+2abx+b² (tu te souviens de l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b²)
Donc en égalisant les deux : ax²+b=ax²+2abx+b²
Soit en remettant tout du même côté de l'égalité : ax²+b-(ax²+2abx+b²)=0
Ce qui donne en arrangeant tout ça:-2abx-b²+b=0 soit -2abx=b²-b donc
x=(b²-b)/(-2ab), ce qui s'écrit plus proprement en mettant b en facteur au numérateur et au dénominateur x=(1-b)/2a
Finalement on est arrivés au bout, j'avais juste fait une petite erreur en y réfléchissant dans mon coin.
J'espère que cette dernière partie te paraitra aussi claire que le début

ce serait plutôt

par **annick** » 19 Jan 2007, 10:04

Bonjour,
Oui, là je suis d'accord avec toi Fonfon et c'est d'autant plus idiot que sur ma feuille c'est ce que j'avais trouvé, mais comme je le disais il était tard et j'ai voulu finir "en live".
Je suis désolée pour Bigpogo
Bonne journée à tous

par **fonfon** » 19 Jan 2007, 10:06

de toute façon si bigpogo a compris la methode il peut essayer de le finir

Exercice sur les composées de fonctions.

Exercice sur les composées de fonctions.

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