Exercice sur les complexes

par **Bibi014** » 30 Déc 2009, 11:10

Bonjour à tous ! J'ai un Dm de maths a faire pendant les vacances et je dois dire que je n'y arrive pas ... J'ai déjà quelles réponses et j'espère que vous pourrez m'éclairer d'avantage

Voilà le sujet:

1) On note P(z)=z²-(1+3i)z+4+4i où "z" représente un complexe quelconque.
a) Montrez que l'équation, P(z)=0, admet une solution imaginaire pure que l'on déterminera. (on pourra la chercher sous la forme z=ib où "b" est un réel)

b) Déterminer le complexe "u" tel que P(z)=(z-4i)(z-u). Achever alors la résolution de l'équation P(z)=0. Donner la forme exponentielle des solutions.

2) On considère les points A,B et C d'affixes respectives a=4i, b=1-i et c= -5+3i
a) Placer les points sur le dessin

b) Déterminer la forme algébrique du complexe q=(b-a)/(c-a). En interprétant géométriquement, décrire la nature du triangle ABC

A tout point M diffèrent de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=(z-1+i)/(z-4i)

c) Déterminer géométriquement l'ensemble (E) des points M pour lesquels z' est réel et l'ensemble (F) des points M pour lesquels arg(z')=/2 +2k . On les représentera

d) On pose z= x+iy. Déterminer la forme algébrique de z'. Retrouver par calculs les ensembles (E) et (F)

Et voilà mes quelques résultats ...

1a) Pour cette question je remplace donc z par ib, je trouve donc (-b²+3b+4)+i(4-b)=0 donc b=0 mais après j'en fait quoi?
b) J'ai développé et j'arrive à z²-z(4i-u)-4iu mais je ne peut pas identifier avec l'eaqution donné ...

2a) Je les ai placé sans aucun problème
b)Pour la forme algébrique je trouve -i et en interprétant je déduis que ABC est un triangle rectangle en A car q= un imaginaire pur.

c) Pour l'ensemble E je trouve que AM et BM sont colinéaires et pour l'ensemble F je trouve qu'il s'agit du cercle de diamètre [AB]. Pour cette question j'ai un problème car en question 2 il nous donne b=1-i et dans le quotient c'est 1+i donc soit il y a une faute dans l'énoncé soit il y a une façon de le faire autre que ce que j'ai fait.

d) Je trouve ici (x-1)+(iy+i)-x-(-4i+iy)=0 mais je ne vois pas comment faire le suite,je ne dois pas utilisé le bon raisonnement mais je n'en vois pas d'autres ...

Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.

par **johnjohnjohn** » 30 Déc 2009, 11:23

Bibi014 a écrit:"(-b²+3b+4)+i(4-b)=0 donc b=0 mais après j'en fait quoi?"

Certainement pas ! Je ne sais pas comment tu fais pour aboutir à une telle implication.

On repart de l'équation ci-dessous qui m'a l'air juste

(-b²+3b+4)+i(4-b)=0 (E)

Un complexe z=x+i.y est nul si et seulement si ..... ( donne nous la condition sur x et y )

Une fois que tu as pris la mesure de cette indication, tu essayes de l'appliquer à l'équation (E)

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 11:32

Bibi014 a écrit:Et voilà mes quelques résultats ...

1a) Pour cette question je remplace donc z par ib, je trouve donc (-b²+3b+4)+i(4-b)=0 donc b=0 mais après j'en fait quoi?

Pourquoi b=0 ??
Un complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles

Bibi014 a écrit: b) J'ai développé et j'arrive à z²-z(4i-u)-4iu mais je ne peut pas identifier avec l'eaqution donné ...

Si car u est complexe
Ecris-le x+iy si tu veux
PS : ton développement est faux

Bibi014 a écrit:2a) Je les ai placé sans aucun problème
b)Pour la forme algébrique je trouve -i et en interprétant je déduis que ABC est un triangle rectangle en A car q= un imaginaire pur.

Je ne trouve pas -i
Rectangle en A oui mais tu peux en dire plus sur ce triangle

Bibi014 a écrit:c) Pour l'ensemble E je trouve que AM et BM sont colinéaires

Oui mais il faut le traduire en terme d'ensemble

Bibi014 a écrit:et pour l'ensemble F je trouve qu'il s'agit du cercle de diamètre [AB].

Pas tout à fait car l'argument est pi/2 + 2kpi et non pi/2+kpi

Bibi014 a écrit:Pour cette question j'ai un problème car en question 2 il nous donne b=1-i et dans le quotient c'est 1+i donc soit il y a une faute dans l'énoncé soit il y a une façon de le faire autre que ce que j'ai fait.

z-1+i = z-(1-i)

Bibi014 a écrit:d) Je trouve ici (x-1)+(iy+i)-x-(-4i+iy)=0 mais je ne vois pas comment faire le suite,je ne dois pas utilisé le bon raisonnement mais je n'en vois pas d'autres ...

Remplace z par x+iy et multiplie en haut et en bas par le conjugué du déniminateur, puis simplifie

par **Bibi014** » 30 Déc 2009, 14:02

1a)Désolé erreur de frappe je voulais dire b=4 donc z=4i ?

1b)Mon développement est donc z²-z(4i+u)-4iu et donc je dis que u + 4i = 1 + 3i ET -4iu = 4 + 4i

D'où ..u = 1-i...d'où.. P(z) = (z -1 - i)(z - 4i)...d'où ..P(z) = 0 <=>u = 1 - i OU u = 4i ?

2b) q=i donc triangle rectangle mais je ne vois pas ce que je peux dire d'autre

2c) Donc M appartient a la droite (AB)? (ensemble E)
Donc M appartient au demi cercle de diametre [AB]? (ensemble F)

Est ce que cela est bon? Merci pour votre aide !

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 16:03

Bon c'est déjà mieux !

Bibi014 a écrit:1a)Désolé erreur de frappe je voulais dire b=4 donc z=4i ?

Oui
Il faut t'assurer que b=4 annule bien la partie réelle et la partie imaginaire

Bibi014 a écrit:1b)Mon développement est donc z²-z(4i+u)-4iu et donc je dis que u + 4i = 1 + 3i ET -4iu = 4 + 4i

Il faut faire attention : ton développement est encore faux

Bibi014 a écrit:D'où ..u = 1-i...d'où.. P(z) = (z -1 - i)(z - 4i)...d'où ..P(z) = 0 u = 1 - i OU u = 4i ?

Oui

Bibi014 a écrit:2b) q=i donc triangle rectangle mais je ne vois pas ce que je peux dire d'autre

En disant que le triangle est rectangle, tu utilises le fait que l'argument de i est pi/2
Maintenant utilise le fait que le module de i est 1 ...

Bibi014 a écrit:2c) Donc M appartient a la droite (AB)? (ensemble E)

Presque ... Il y a une valeur interdite ...

Bibi014 a écrit: Donc M appartient au demi cercle de diametre [AB]? (ensemble F)

Il faut être plus précis car il y a 2 demi-cercles de diamètre [AB] limités par le segment [AB]
L'un correspond à pi/2 + 2k pi
L'autre à -pi/2 + 2k pi

par **Bibi014** » 30 Déc 2009, 18:02

1b) z²-z(4i+u)+4iu
donc 4i+u=1+3i et 4iu=4+4i mais là j'arrive a deux solutions soit 1-i ou 1+i?

2b) Comme i a pour module 1, alors les cotés AB et AC sont égaux ?

2c) La droite (AB) ou A est exclue
Le demi-cercle de diametre [AB] mais je ne comprends pas comment le définir, je pense que c'est celui qui est du coté gauche mais je ne vois pas ...

Mercii ! :we:

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 18:20

Bibi014 a écrit:1b) z²-z(4i+u)+4iu
donc 4i+u=1+3i et 4iu=4+4i mais là j'arrive a deux solutions soit 1-i ou 1+i?

Tu as fait une erreur de calcul, tu dois arriver à une seule solution

Bibi014 a écrit:2b) Comme i a pour module 1, alors les cotés AB et AC sont égaux ?

Oui c'est-à-dire que le triangle est ...

Bibi014 a écrit:2c) La droite (AB) ou A est exclue
Le demi-cercle de diametre [AB] mais je ne comprends pas comment le définir, je pense que c'est celui qui est du coté gauche mais je ne vois pas ...

Oui c'est ça (il faut exclure A aussi)

par **Bibi014** » 30 Déc 2009, 20:52

C'est ok pour la seule solution, erreur de signe ...

2b) le triangle est isocèle et rectangle en A, je voulais savoir juste avec le module de "i" je peux en deduire que les cotés égaux où je dois faire le module des vecteurs et leurs arguments?

2c) Je comprend qu'il s'agit du demi cercle de gauche mais coment est ce que je pourrais l'éxpliquer?

Merci beaucoup !

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2009, 21:01

Avec le module de i tu conclus que les côtés sont égaux
Avec l'argument tu conclus que les côtés sont perpendiculaires

Pour le 2c tu as dû voir que ça correspond à un demi-cercle non ?
Tu sais que le point d'affixe -i appartient au cercle
Son image vaut 1/(-5i) = i/5 dont l'argument vaut pi/2
Donc tu peux dire que c'est le demi-cercle qui contient ce point
Mais le mieux c'est encore de le dessiner

par **haking007** » 30 Déc 2009, 21:23

en mauritanie ces jarre de probleme sont sur 3 point
tres facile :triste:

par **Bibi014** » 30 Déc 2009, 21:39

Okay merci, de toute façon c'est demandé de representer les ensemble donc c'est ce que je vais faire

2d) Je trouve Re(z')= (x²+y²-x-3y+4)/x²+(y-4)² et
Im(z')=(5x+y-4)/x²+(y-4)²
A partir de ça je dois retrouver les ensemble, je sais que quand z' est réel <=> Im(z')=0 mais je ne vois pas comment retrouver la droite (AB)
et de même pour trouver le demi cercle ...

Merci de votre aide :we:

par **Sa Majesté** » 31 Déc 2009, 09:58

Tu as (encore) une erreur de signe (dans la partie réelle)
Im(z')=(5x+y-4)/[x²+(y-4)²] donc Im(z') = 0 si et seulement si ...

par **Bibi014** » 31 Déc 2009, 11:50

pour la partie réelle c'est donc (x²+y²-x-3y-4)/(x²+(y-4)²)

Im(z')=0 ssi 5x+y-4=0 donc y=4-5x (droite d'équation de AB)

Par contre pour démontrer qu'il s'agit d'un demi cercle je ne vois pas, je dois trouvé l'équation d'un cercle?

Merci

par **Sa Majesté** » 31 Déc 2009, 11:56

Bibi014 a écrit:pour la partie réelle c'est donc (x²+y²-x-3y-4)/(x²+(y-4)²)

Oui

Bibi014 a écrit:Im(z')=0 ssi 5x+y-4=0 donc y=4-5x (droite d'équation de AB)

Oui

Bibi014 a écrit:Par contre pour démontrer qu'il s'agit d'un demi cercle je ne vois pas, je dois trouvé l'équation d'un cercle?

Il faut mettre x²+y²-x-3y-4 sous la forme (x-a)²+(y-b)²=r²
ce qui va te donner les coordonnées du centre du cercle (a,b) et son rayon r

Exercice sur les complexes

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