Exercice sur les Complexes

[Kiboki]

Bonsoir à tous et bonne année !

Je viens vous demander votre aide, car j'ai un exercice sur les complexes .. et ayant raté une bonne partie de ce chapitre à cause de la neige etc etc, je ne sais vraiment pas par quoi commencer .. pouvez vous m'aider ? :triste:

Évidemment je ne demande pas les réponses, sa ne serait pas interessant pour moi pour que je comprenne et puisse refaire plus tard ..
Mais pourriez vous m'indiquez les méthodes à utiliser, le nom des théorèmes, histoire que je voye ce que je dois utiliser ...
Merci d'avance à ceux qui auront du temps à m'accorder.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v)
On considère les points A et B d'affixes respectives i et -i
Soit f l'application qui à tout point M du plan d'affixe z distincte de -i associe le point M' d'affixe z' telle que z' = .

1. Quelle est l'image du point O par l'application f ?
2. Quel est le point qui a pour image le point C d'affixe 1 + i par l'application f ?
3. Montrer que l'équation = z admet deux solutions que l'on déterminera.
4. Vérifier que z' = , en déduire OM' = et (u, OM') = (BM, AM) + pi/2
5. Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leur image par l'application f située sur un même cercle (C) que l'on précisera.
6. Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B.
Montrer que son image M' est situé sur l'axe des abscisses.

[Pour les 'u', 'v' et vecteurs, je sais qu'il manque les flèches au dessus, mais je ne sais pas comment les mettres désolé ..]

[laya]

Poste stp tes réponses pour les 3 premières questions car elles sont basiques (calcul d'image, résolution d'une équation du 1er degré, résolution d'une équation du second degré très simple)

[Kiboki]

Normalement, j'ai un repère orthonormé pour les constructions.

(On va commencer par le début)
Donc d'après l'énoncé, on a les points A (0;1) et B (0;-1)

1. Si je comprend bien la question (..), donc le point O c'est l'origine du repère, soit le point à (0;0).
Mais je ne vois pas comment trouver O', vu qu'il est de coordonnée 'nulle',
Donc Zo = 0 + i0 ... Donc Z'o = (1 + i(Zo)) / ((Zo) + i) = 1 / i.
L'image O' serait d'affixe 0 + 1/i ?

[laya]

Normalement, j'ai un repère orthonormé pour les constructions.

(On va commencer par le début)
Donc d'après l'énoncé, on a les points A (0;1) et B (0;-1)

1. Si je comprend bien la question (..), donc le point O c'est l'origine du repère, soit le point à (0;0).
Mais je ne vois pas comment trouver O', vu qu'il est de coordonnée 'nulle',
Donc Zo = 0 + i0 ... Donc Z'o = (1 + i(Zo)) / ((Zo) + i) = 1 / i.
L'image O' serait d'affixe 0 + 1/i ?

Oui, c'est ça et c'est aussi égal à -i, donc en fait O' est le même que B.
La suite ?

[Kiboki]

Bin justement je ne comprend pas pourquoi O' serait égal à B .. je ne comprend pas d'où sort le -i .. pourrais-tu me l'expliquer ? :/

Pour la suite,
2. Donc ici, c'est l'inverse du 1. donc j'ai l'image par l'application mais pas le point d'origine ...
Z' = 1+i.
Et là j'ai beau cherché dans mon cours je ne trouve pas de propriété 'inverse' ou quelque chose qui pourrait m'aider ....

[Kiboki]

Finalement je pense avoir trouvé la méthode, mais pas le résultat ...


Donc z' = = z'c = 1+i
= 1+i
- (1+i) = 0
- = 0
= 0
= 0
= 0
Et c'est là que sa se complique et que j'ai dû me tromper dans la méthode. Car je sais qu'il faut multiplier le quotient par l'inverse du dénominateur .... enfin bref sa doit être faux.
= 0
= 0
= 0

... Et c'est là que j'ai pété un câble et que l'on peut trouver un beau gribouillis sur mes brouillons
Je sais pas ce qu'il faut faire à partir de là, ne sachant même pas si c'est bon .. :help: me please :triste:

[Edit : les [?] sont des '²']

[laya]

= 0

Oh toi, tu n'es pas encore habitué aux complexes (normal). Tu as encore la manie de vouloir introduire des nombres réels, des x et des y, parties réelle et imaginaire, etc.

Dans l'équation de la citation ci-dessus, tu as une fraction nulle. Quand une fraction est-elle nulle ? Ben quand le numérateur est nul.... càd z = 2+i. Attention, pour que ta rédaction soit correcte, il faut aussi que tu parles des valeurs ou de la valeur interdite.

[Kiboki]

Donc la réponse serait : Le point qui a pour image le point C d'affixe 1 + i par l'application f est z = 2+i ? ..
Je savais que si je fessais des énormes calculs le résultat serait enfaite d'une déduction logique haha
Donc c'est le point C d'affixe 2+i (Donc C (2;i) ) C'est bien ça ?

Pour le 3., si c'est souvenir sont bon, je sais faire. Enfin vu qu'il se fait tard j'essaierais demain matin et viendrais demander de l'aide si jamais je bloque :/

Merci à toi laya pour ton aide précieuse.
Bonne nuit.

[Kiboki]

[Désolééé pour le double post ... je veux éditer mais il y a marqué : Erreur, votre texte est trop court, veuillez rajouter 10 caractères etc etc (et évidemment j'ai essayé en écrivant plus téh !)]

C'était juste pour dire, pour la rédaction, à ce niveau là sa va encore je me débrouillerais, là c'est un brouillon je sais rédiger correctement ;)

Euh concernant la réponse de l'exo 1 ... donc pourrais tu m'expliquer pourquoi c'est aussi égal au point B ?Sa veux dire qu'il y a deux solutions ? Ou que 1/i vaudrait -i (=-1) (chose que je ne comprend pas si c'est le cas ..)

Voilààà merci encore, et bonne nuit les gens :happy2:

[laya]

Quand je dis rédaction, je ne parle pas de la langue mais plutôt de la rigueur, exemple : avant de commencer à résoudre une équation, je cherche les valeurs interdites.

Pour le fait que 1/i = -i , que sais-tu sur i ? Comment a-ti
-il été défini.

[Kiboki]

Et bien la valeur interdite de l'équation est pour z = -i, car le dénominateur ne peux être égal à 0.

Pour la définition de -i je suppose qu'il s'agit cette phrase dans l'énoncé .. mais sa tombe bien car je ne comprend pas le 'distincte de -i' ...

Soit f l'application qui à tout point M du plan d'affixe z distincte de -i associe le point M' d'affixe z' telle que [...]

[laya]

Et bien la valeur interdite de l'équation est pour z = -i, car le dénominateur ne peux être égal à 0.

Pour la définition de -i je suppose qu'il s'agit cette phrase dans l'énoncé .. mais sa tombe bien car je ne comprend pas le 'distincte de -i' ...

Justement, tu le dis toi-même, -i est valeur interdire car sinon le dénominateur de la fraction de ta fonction serait nul. C'est pour ça que dans l'énoncé on précise de suite que -i est exclu du domaine de définition, on ne peut pas calculer l'image de -i par f car elle n'existe tout simplement pas.

Maintenant, il ne faut oublier la première chose apprise dans les cours sur les complexes qui est qu'il existe un nombre complexe de carré égal à -1 (ce qu'on n'avait pas pour les réels vu que le carré d'un réel est toujours positif ou nul, jamais égal à -1).
Ainsi : i² = i*i = -1, par conséquent : (1/i) = -i.

[Kiboki]

Ah d'accord c'est l'énoncé que je comprenais mal, mais "-i est exclu du domaine de définition", sa je comprend ^^.

Oui je connais évidemment la base de i² = -1. Mais je n'avais pas fait le rapprochement avec 1/i désolé ...

Pour la question 3.
Est-ce que je dois faire ce que j'avais utiliser dans le 1. (mais qui était faux pour cette question) ? Ou est-ce que je dois simplement faire du type "z =", et mettre le quotient de l'autre côté, afin d'obtenir z² (et ensuite calculer avec 'Delta' les x1 et x2 pour trouver les solutions) ?

[laya]

Pour la question 3.
Est-ce que je dois faire ce que j'avais utiliser dans le 1. (mais qui était faux pour cette question) ? Ou est-ce que je dois simplement faire du type "z =", et mettre le quotient de l'autre côté, afin d'obtenir z² (et ensuite calculer avec 'Delta' les x1 et x2 pour trouver les solutions) ?

Non, cherche comme tu dis une équation du second degré vérifiée par z. Ton prof est tellement gentil ^^ que tu n'auras même pas besoin de 'Delta' pour trouver les solutions.

[Kiboki]

Ah oui effectivement ^^

3. (1 + iz) / (z+i) = z
[Je rappelle la valeur interdite de z]

z(z+i) = (1 + iz)
z² + iz = 1 + iz
z² = 1

Donc z admet deux solutions, 1 et -1.


4. Ils demandent de vérifier, donc j'ai le droit d'utiliser une équation pour résoudre le problème je crois ?
Donc je dois trouver que z' = =
Et que donc = 0
= 0
L'égalité est donc vérifiée.

Par contre déduire OM' = AM / BM et (u,OM') = (BM, AM) + Pie/2 ....
Grosse partie que j'ai loupé donc sais pas du tout ce que je dois faire ..
Comment connaitre la valeur du point M (enfin pas la valeur, mais les coordonnées de ce point) ?
A partir de là, je connais mes formules concernant le calcul de OM' etc.
(Et un peu d'aide pour (BM, AM) + Pie/2 aussi s'il te plait :/ ..)

[laya]

Comment connaitre la valeur du point M (enfin pas la valeur, mais les coordonnées de ce point) ?
A partir de là, je connais mes formules concernant le calcul de OM' etc.

Oui oublie un peu (pas trop non plus) les coordonnées. Tu ne travailleras qu'avec les affixes.
Quelques rappels :

Si A d'affixe a, B d'affixe b, C d'affixe c. On suppose que A, B et C sont deux à deux distincts.
Alors, par exemple,
La distance AB est le module de (b-a) :
L'angle orienté avec

Voilà, il suffit de transposer ces propriétés avec les affixes que tu as dans l'énoncé.

[Kiboki]

Donc l'affixe du vecteur OM' vaut : zom' (avec la flèches sur 'om'') = zm' - zo
zab = - 0 =
Mais comment est-ce que je trouve l'affixe du point M ? M n'est pas l'ensemble de points du plan d'affixe z qui associe le point M' d'affixe z' ? (....)

Donc le module c'est la distance, et l'argument c'est l'angle.
Il fallait bien que je calcule l'affixe de OM' ? Ou je dois également calculer son module ?

Ensuite pour l'égalité des angles, je pourrais le faire.
Comme je l'ai dis je connais les formules, il n'y a pas de soucis pour ça, ma difficulté étant que je ne sais pas tellement quand les appliquées vu que j'ai raté pas mal de cours sur ce chapitre.. (raison pour laquelle je viens demander votre aide)

[laya]

Donc l'affixe du vecteur OM' vaut : zom' (avec la flèches sur 'om'') = zm' - zo
zab = - 0 =
Mais comment est-ce que je trouve l'affixe du point M ? M n'est pas l'ensemble de points du plan d'affixe z qui associe le point M' d'affixe z' ? (....)

Donc le module c'est la distance, et l'argument c'est l'angle.
Il fallait bien que je calcule l'affixe de OM' ? Ou je dois également calculer son module ?

Ensuite pour l'égalité des angles, je pourrais le faire.
Comme je l'ai dis je connais les formules, il n'y a pas de soucis pour ça, ma difficulté étant que je ne sais pas tellement quand les appliquées vu que j'ai raté pas mal de cours sur ce chapitre.. (raison pour laquelle je viens demander votre aide)

Si tu comprends la question sur les modules, tu comprendras celle sur l'argument.
Tu dis ah mais comment faire des calculs si je ne connais pas z.
C'est comme si on te disait : le prix d'une pomme est de 2euros, que est le prix de K pommes et que tu répondais, comment je fais, je ne connais pas K. La réponse est bien sûr 2*K.
Dans ton exo aussi, tu peux travailler avec z sans connaître sa valeur et arriver à ton égalité.

[Kiboki]

Non, ce que je ne trouve pas c'est l'affixe de M ..
Ce serait "z" ? ('Tout point M du plan d'affixe z distincte de -i)

Si c'est z,
OM' : zom' = 1+iz / z+i

AM : zam = zm - za = z - i
BM : zbm = zm - zb = z + i
AM / BM = z - i / z + i

Sauf que c'est pas égal à OM' donc sa ne doit pas être ça ...



Ensuite, pour (u, OM'), OM' est de la forme |z|/|z'|, donc Argument de OM : Arg((1 + iz)/(z+i)) = Arg(1+iz) - Arg(z+i)
Jusque là c'est sa ?

[laya]

Non, ce que je ne trouve pas c'est l'affixe de M ..
Ce serait "z" ? ('Tout point M du plan d'affixe z distincte de -i)

Si c'est z,
OM' : zom' = 1+iz / z+i

AM : zam = zm - za = z - i
BM : zbm = zm - zb = z + i
AM / BM = z - i / z + i

Sauf que c'est pas égal à OM' donc sa ne doit pas être ça ...

Oui, ce n'est pas tout à fait ça car tu ne parles à aucun moment des modules. La distance AM n'est pas égale à z-i mais plutôt à , idem pour BM.
En utilisant l'expression de z' que tu as trouvée juste avant [ i(z-i)/(z+i) ] et le fait que le module de i est égal à 1, tu devras tomber pile poile sur ce qu'on te demande.