Exercice sur les complexes : j'y arrive pas :mur:

[Anonyme]

Bonjour, quelqu'un pourrait-il me m'aider ? Je n'ais réussi aucune des questions de l'exercices... Voici l'exercice que l'on me demande de résoudre :

"On construit extérieurement à un triangle ABC trois triangles équilatéraux ABM, BCN et ACP dont les centres de gravité sont respectivement H, F et G. On se propose de démontrer que le triangle FGH est équilatéral et a même centre de gravité que le triangle ABC ( Théorème de Napoléon ).
On désigne par a, b, c, f... les affixes des points A, B, C, F... dans un repère orthonormal du plan.

a) Exprimer h en fonction de a, b, m.

b) Ecrire des relations analogues pour f et g.

c) Démontrer que g - h = e^(i*pi/3) * (f-h)

d) Montrer enfin que les triangles ABC et FGH ont le même centre de gravité."

Je précise que "^" signifie "puissance"
"*" signifie "fois"
"/" signifie "diviser par"

Merci d'avance pour votre aide.

[maturin]

a) c'est la propriété de base du barycentre.
La définition est AH+BH+MH=0
Tu en déduis avec chasles pour tout point M que:
(AM+MH)+(BM+MH)+(CM+MH)=0
donc 3MH+AM+BM+CM=0
donc MH=1/3*(MA+MB+MC)

si tu prends M=O le centre de ton repère tu va avoir une relation entre les vecteurs OH,OA,OB,OC qui ont respectivement pour affixe h,a,b,c.
et tu trouves h=(a+b+c)/3

b) tu fais pareil dans les autres triangles

c) il te faut utiliser les formules trouver aux a) et b)
et tu dis que dans les triangles équilateraux:
et
AM a pour affixe m-a et ab a pour affixe b-a
tu peux donc traduire ceci par:


tu écris cette relation pour les 3 triangles en faisant attention au sens de rotation (-pi/3 ou +pi/3)

et avec toutes tes équation tu devrais trouver la relation voulue.
Tu peux aussi trouver la solution voulue mais avec un angle -pi/3 selon le sens de ton dessin (pour trouver la bonne il faut tracer le triangle A,B,C dans le sens direct)

d) tu appliques ce que tu as fait au a) pour trouver les coordonnées du centre de gravité de FGH.
tu remplaces f,g,h par les résultats de a) et b)
puis tu remplaces m,n,p par les mêmes relations que tu as utiliser au c)