Exercice sur les complex

[mx147]

Il faut résoudre dans C l'équation de iz²+(1+2i)z+4+2i=0

1) Démontrer que cette équation a une solution imaginaire pur. (on écrira que l'imaginaire pur iy (y appartient à R) est solution de l'équation puis on déterminera le réel y)

2)a) Trouver les complexes a et b tels que iz²+(1+2i)z4+2i = (z-2i)(az+b).
b) En déduire les solution de l'équation.

J'ai pas compris la question 1 que faut il trouvé le nombre i?

Merci

[vincentroumezy]

Bonjour.
On cherches y réel tel que iy soit racine du polynôme.

[low geek]

en fait tu doit démontré qu'un imaginaire pur est solution de l'équation
En gros tu as z=iy
tu remplace e par iz et tu doit montré qu'il éxiste une solution.

[mx147]

Je vois pas quoi remplacé pari iz

Faut-il plutôt pas que je remplace tous les z par x+iy ?

[vincentroumezy]

Par iy seulement, puisqu'on te dit que x=0.

[mx147]

Donc j'ai fait: i(iy)²+(1+2i)(iy)+4+2i = 0
-iy²+iy-2y+4+2i = 0
J'ai factorisé mais je suis pas sur qu'il faut faire sa:
y(-iy+i-2)+4+2i = 0

Ensuite je ne vois pas comment finir l'équation étant donné qu'il y a deux inconnue.

[vincentroumezy]

Y'a qu'une inconnue,y.

[mx147]

Oui mais je vois pas comment faire ici
car il faut montrée que y(-iy+i-2) = -4 -2i du moins c'est se que je pense.

[vincentroumezy]

Tu identifies partie réelle et partie imginaire, car "deux nombres complexes sont égaux si et ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire".

[mx147]

Donc le premier réel c'est 4+2i 2 et la partie réel et 2i imaginaire.
Mais dans -iy²+iy-2y alors
-2y est la partie réel donc elle doit être égale à 4 si j'ai bien compris est donc on peu en déduire que
y= -2
puis -iy²+iy est la partie imaginaire qui doit être égale à 2i
mais la si je remplace -iy²+iy cela me donne -4i+2i = -2i et non pas 2i