Exercice sur les barycentres (1èreS)

[gogetenks02]

Bonjour,
Je sors d'un cours de maths et on nous a donné un petit exercice à terminer sur les barycentres. Il est très court, mais n'ayant pas compris grand chose aux barycentres je n'entrevois même pas le début de la démarche...

"Montrer que deux triangles ABC et DEF d'un plan ont le même centre de gravité si et seulement si vecteurAD + vecteurBE + vecteurCF = vecteur nul."

Si quelqu'un avait une idée de la démarche, ça serait sympa...^^

[bruce.ml]

Bonjour,

première chose à trouver : quelle est la caracterisation barycentrique du centre de gravité G d'un triangle ABC ? en termes moins pompeux quelle égalité vectorielle a-t-on avec les points A, B, C et G ?

[gogetenks02]

Tout d'abord, merci pour la vitesse de la réponse :)
Si je ne me trompe, on a G=bar{(A,alpha);(B,bêta);(C,gamma)] dont on ne connait pas les coefficients.
Par hypothèse G est également barycentre des points pondérés (D,delta); (E,epsilon); (F,dzeta).
Je ne vois rien d'autre à ajouter... C'est bien ça ?

[gogetenks02]

Tout d'abord, merci pour la vitesse de la réponse :)
Si je ne me trompe, on a G=bar{(A,alpha);(B,bêta);(C,gamma)] dont on ne connait pas les coefficients.
Par hypothèse G est également barycentre des points pondérés (D,delta); (E,epsilon); (F,dzeta).
Je ne vois rien d'autre à ajouter... C'est bien ça ?

[rene38]

Bonjour

G=bar{(A,alpha);(B,bêta);(C,gamma)] dont on ne connait pas les coefficients.

Si ! Le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre des 3 sommets et comme les coefficients sont définis à une constante multiplicative près, tu peux choisir .
Même chose pour l'autre triangle.
Ensuite, comme te l'a dit bruce.ml, traduis ceci en égalités de vecteurs.

[gogetenks02]

Je vois... Je vais essayer ça. Je posterais un autre message si je n'y arrive pas, même si j'espère le contraire xD

Merci^^

[gogetenks02]

Voilà, j'ai testé. J'obtiens donc :

"On a G=bar{(A,1);(B,1);(C,1)} soit vecteurGA + vecteurGB + vecteurGC= vecteur nul, et on a H=bar{(D,1);(E,1);(F,1)} d'où vecteurGD + vecteurGE + vecteurGF = vecteur nul.

On veut prouver que G=H=bar{(A,1);(B,1);(C,1);(D,1);(E,1);(F,1)} si et seulement si vecteurAD + vecteur BE + vecteur CF = vecteur nul."

Mais après, avec différentes approches, je n'arrive pas à obtenir de résultat concret... J'obtiens au mieux "vecteurAG + vecteurBG + vecteurCG - vecteurED - vecteurEG - vecteurFG = vecteur nul".

Je ne vois pas quoi faire de plus... Si quelqu'un pouvait m'aider (et me dire en même temps si ma rédaction est bonne ou si je devrais écrire autre chose ?)
Merci^^

[gogetenks02]

Voilà, j'ai testé. J'obtiens donc :

"On a G=bar{(A,1);(B,1);(C,1)} soit vecteurGA + vecteurGB + vecteurGC= vecteur nul, et on a H=bar{(D,1);(E,1);(F,1)} d'où vecteurGD + vecteurGE + vecteurGF = vecteur nul.

On veut prouver que G=H=bar{(A,1);(B,1);(C,1);(D,1);(E,1);(F,1)} si et seulement si vecteurAD + vecteur BE + vecteur CF = vecteur nul."

Mais après, avec différentes approches, je n'arrive pas à obtenir de résultat concret... J'obtiens au mieux "vecteurAG + vecteurBG + vecteurCG - vecteurED - vecteurEG - vecteurFG = vecteur nul".

Je ne vois pas quoi faire de plus... Si quelqu'un pouvait m'aider (et me dire en même temps si ma rédaction est bonne ou si je devrais écrire autre chose ?)
Merci^^

[rene38]

On a G=bar{(A,1);(B,1);(C,1)} soit vecteurGA + vecteurGB + vecteurGC= vecteur nul, Oui
et on a
G=bar{(D,1);(E,1);(F,1)} d'où vecteurGD + vecteurGE + vecteurGF = vecteur nul.

Ta première égalité peut aussi s'écrire car G=bar{(A,-1);(B,-1);(C,-1)}
Tu additionnes membre à membre ces deux égalités ...

[gogetenks02]

ça me donne donc :
vecteurAG+vecteurBG+vecteurCG = vecteurDG + vecteurEG + vecteurFG
soit "vecteurAG + vecteurBG + vecteurCG - vecteurED - vecteurEG - vecteurFG = vecteur nul" comme je l'avais dit.
Mais les coefficients ne sont pas égaux, G n'est donc pas -ou je me trompe- barycentre de tous ces points... Donc je me suis trompé quelque part. :briques:

[gogetenks02]

ça me donne donc :
vecteurAG+vecteurBG+vecteurCG = vecteurDG + vecteurEG + vecteurFG
soit "vecteurAG + vecteurBG + vecteurCG - vecteurED - vecteurEG - vecteurFG = vecteur nul" comme je l'avais dit.
Mais les coefficients ne sont pas égaux, G n'est donc pas -ou je me trompe- barycentre de tous ces points... Donc je me suis trompé quelque part. :briques:

[rene38]

Mais les coefficients ne sont pas égaux, G n'est donc pas -ou je me trompe- barycentre de tous ces points...

Il n'a jamais été question de ça dans l'énoncé !
Je t'ai écrit :

Tu additionnes membre à membre ces deux égalités ...

Et tu réponds en écrivant une nouvelle égalité et en modifiant ce que tu avais toi-même écrit : "vecteurGD + vecteurGE + vecteurGF = vecteur nul." :

vecteurAG+vecteurBG+vecteurCG = vecteurDG + vecteurEG + vecteurFG

[gogetenks02]

D'accord, je pense avoir compris... Je vis essayer.
Merci rene38 ;)

[sxmwoody]

gogetenks02
mettre les vecteurs sur les segments...
G isobarycentre de ABC on a : GA+GB+GC=0 1
G isobarycentre de DEF on a : GD+GE+GF=0 2
On retranche 2-1
soit: (AG+GD)+(BG+GE)+(CG+GF)=0
Il suffit alors d'appliquer la relation de Châles (vraie en 1,2,3 D)
AG+GD=AD idem pour les 2 autres !!!
d'où AD+BE+CF=0...

[Ben314]

gogetenks02
mettre les vecteurs sur les segments...
G isobarycentre de ABC on a : GA+GB+GC=0 1
G isobarycentre de DEF on a : GD+GE+GF=0 2
On retranche 2-1
soit: (AG+GD)+(BG+GE)+(CG+GF)=0
Il suffit alors d'appliquer la relation de Châles (vraie en 1,2,3 D)
AG+GD=AD idem pour les 2 autres !!!
d'où AD+BE+CF=0...

a) Le post date... d'il y a 7 ans... et j'espère que ce pauvre gogetenks02 a eu son bac depuis.
b) Ce que tu écrit ne prouve aucunement l'équivalence demandée, mais uniquement une des deux implications.

[chan79]

on peut montrer



ce qui montre l'équivalence demandée

[sxmwoody]

on peut montrer



ce qui montre l'équivalence demandée

pas d'accord !! on applique strictement , les données de l'énoncé !
Il n'est nullement question de G' dans celui-ci !!!
Relation de Châles et isobarycentre sont supposés démontrés et connus en première
salutations.
De plus il serait plus profitable à l'élève de lui rappeler R.de Châles , associativité du barycentre , remplacement de 2 points par un point affecté de la somme des poids des 2 autres...très pratique pour démontrer alignement et point de concours de 3 droites, etc.

[chan79]

restons relax...
G est l'isobarycentre de ABC, qui donne



on en déduit avec la relation de Chasles:



et



puisque

on obtient

ce qui permet de démontrer facilement l'équivalence demandée

C'est encore au programme de lycée, les barycentres ? (cette discussion date de 2007)