Exercice sur la derivation - 1ereS

[Ssasuke91]

Bonsoir a tous,

Je suis confronte a 2 exercices dont j'ai du mal a trouver la solution, je compte sur vous pour m'aider

Exercice I :

Soit a un nombre reel. On dit qu'un polynome P est factorisable par (x-a)² lorsqu'il existe un polynome Q tel que P(x) = (x-a)²Q(x).

1) Montrer que si P est factorisable par (x-a)², alors P(a) = P'(a) = 0.

2) On suppose que P(a) = 0 et on designe par f le polynome tel que P(x) = (x-a)f(x).

3) En deduire que les deux proprietes suivantes sont equivalentes :
a) le polynome P est factorisable par (x-a).
b) on a P(a) = P'(a) = 0.

4) Application
Montrer que P(x) = x4-2x3-7x2+20x-12 est factorisable par (x-2)². Resoudre ensuite l'equation P(x) = 0
NB : 4 = puissance 4

5) Soit n un entier naturel non nul.
Montrer que le polynome P(x)=nxn+1-(n+1)xn+1 est factorisable par (x-1)².

Voila le premier exercice, je n'ai meme pas trouve la solution de la 1ere question, j'ai cherche pendant longtemps mais rien a faire....merci d'avance pour votre aide.

[prody-G]

Si P est factorisable par (x-a)² alors il existe un polynome Q tel que P(x)=(x-a)²Q(x).

Calcule P(a) puis dérive P et calcule P'(a).

[Quidam]

1) Montrer que si P est factorisable par (x-a)², alors P(a) = P'(a) = 0.

Si P(x) = (x-a)²Q(x) alors P(a)=(a-a)²Q(a)=0²Q(a)=0 non ?
Ensuite, la dérivée de P'(x) est : P'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)²Q'(x)
Par conséquent, P'(a)=2*(a-a)*Q(a)+(a-a)²Q'(a)=0, non ?

Si tu ne sais pas faire ça, c'est que tu n'a pas appris ton cours, voyons !

[Ssasuke91]

Merci, et pour les autres questions, comment dois-je proceder ?

[Ssasuke91]

J'ai scanne la feuille d'exercice : http://img254.imageshack.us/img254/377/numriser0001uw9.jpg et http://img442.imageshack.us/img442/1758/numriser004001ic9.jpg.

Pour l'exercice 2, je suis toujours bloque, je n'ai pas reussi a faire comme me l'a dit prody-G, et pour l'exercice 1, je n'ai pas reussi la 1ere question, pour le tableau de variations j'ai reussi, je suis arrive au 2d), je ne trouve pas la meme tangente pour Cf et Cg....merci d'avance pour votre aide.

[lapras]

salut;
Hypothèse :
P'(a) = 0
P(x) = (x-a)f(x)
P'(x) = f'(x)(x-a) + f(x)
P'(a) = 0 = f(a)
donc f(0)
propriété : un polynome dont une racine est a est factorisable par (x-a)

donc f factorisable par (x-a)

[Ssasuke91]

Merci pour ta reponse, et pourrais-je avoir de l'aide pour le reste de l'exercice svp ?

Merci d'avance

[Ssasuke91]

Bonsoir,

J'ai reussi le debut de l'exercice mais je n'ai pas trouve la reponse a partir du 3).

Merci d'avance

[Ssasuke91]

Up !

J'ai vraiment besoin d'aide pour l'exercice II, 3) svp !

Merci