Exercice sur la continuité

[Peter/seconde]

A: est la fonction définie sur par :

où a, b, c et d sont quatre réels (a différent de 0)

1) Étudiez suivant le signe de a, la limite en et en - de f(x).
Ici pas trop de problèmes, je vous épargne les détails mais si ça peut aider pour la suite :
et

2) Prouvez que f() = .
J'ai commencé mais je n'ai pas réussi à finir:
Lorsque a > 0, et .
Lorsque a < 0, et .
D'où , f(x) donc si f() = , f(x) = k admet au moins une solution pour tout réel k compris entre - et .

3) Déduisez-en que toute équation du troisième degré admet au moins une solution dans .
Je ne l'ai pas encore essayé mais ça ne devrait pas poser trop de problèmes.

B) Dans cette partie, .
1) Étudiez les variations de f.
Encore une fois j'épargne les détails et je donne le tableau de variation :


2) Justifiez que l'équation admet une unique solution réelle.
Là j'ai compris le principe mais je n'arrive pas à l'expliquer :
Je sais que donc f(x) = 0 comme f(x) est strictement croissant sur l'intervalle or f(\frac{1}{sqrt{6}}) < 0 et donc f(x) = 0 admet une unique solution.
Ce n'est pas très clair.

3) Donnez la valeur exacte de cette solution.
Je ne sais pas du tout comment résoudre ce polynôme, une piste ne serait pas de refus.

[Arnaud-29-31]

Salut,

Pour f(R) = R, il faut utiliser l'argument que f(x) tend vers en et vers en pour a > 0 (et vice versa pour a < 0). Il faut ensuite ajouter la continuité.

Sinon pour montrer que admet une unique solution réelle, il suffit de trouver une racine évidente de f et montrer qu'elle est unique. (On factorise f)

[Peter/seconde]

Salut

"Pour f(R) = R, il faut utiliser l'argument que f(x) tend vers en et vers en pour a > 0 (et vice versa pour a < 0). Il faut ensuite ajouter la continuité."
J'ai fais ça déjà mais je bloque justement quand il faut ajouter la continuité, je trouve ça abstrait et je ne comprends pas exactement comment l'appliquer. Est-ce qu'il faut que je montre que la fonction a les caractéristiques d'une fonction continu?

"Sinon pour montrer que admet une unique solution réelle, il suffit de trouver une racine évidente de f et montrer qu'elle est unique. (On factorise f)"
Si je fais ça, ça répond directement aux deux questions, c'est pratique mais comme racine évidente je vois 1, mais je ne comprends pas trop comment factoriser avec (x-1).

Merci de tes réponses.

[Arnaud-29-31]

Oui pardon, pour la partie B, tu dresses le tableau de variation, tu donnes les valeurs de f aux points ou f'(x) s'annule (c'est à dire au extrema locaux). Tu utilises ensuite le TVI.

[Rebelle_]

Hello =)

Je m'immisce pour te faire remarquer que dans la partie B, l'équation polynômiale que tu as admet une racine réelle évidente... Sauras-tu la trouver ? :P

Il me semble que l'application du TVI qui permet de dire qu'il existe une unique solution dans un intervalle fixé pour une fonction continue et strictement monotone sur cet intervalle s'appelle le théorème de la bijection.

:)

PS : je suis une boulette. J'en rajoute donc ^^' Pose (x-1)(ax+b), développe et identifie ;)

[Le Chaton]

Bonsoir ,
je ne vois pas trop l'intérêt de factoriser l'expression sachant qu'il doit se servir de son tableau pour répondre à la question 2
Pour répondre à cette question tu prends ton tableau et tu regardes chaque intervalle séparément ...
et normalement il y'a que dans un seul intervalle ou ta fonction va passer d'un nombre négatif à un nombre positif ... avec le TVI tu pourras dire qu'il y'a qu'une seule solution et tu auras prouvé son unicité ...
SInon pour la racine évidente tu l'as trouvée pas besoin de factoriser ... mais bon ( sinon je crois bien que miss rebelle a oublié un petit "²" :p
(x-1)(ax²+b) ensuite tu résous le système de deux équations a deux inconnues et voila mais factoriser ne sert pas dans ton exercice... enfin je pense pas

[Arnaud-29-31]

Oui l'exercice ne demande pas de factoriser ... miss rebelle a bien oublié un petit carré mais le chaton a oublié un x tout seul :p (x-1)(ax²+bx+c) ... encore une fois, on sort de l'exercice la.

[Peter/seconde]

De toute façon j'ai trouvé la réponse avec la première aide de Arnaud j'avais juste pas compris un point. Mais je sais qu'il faut que je démontre qu'elle est unique d'abord avec ce que j'ai fais et ensuite le TVI (théorème de la bijection si tu préfères c'est la même chose) et ensuite à la question d'après je montre que c'est une racine évidente (x = 1) puisque 2x = 2x1 et comme c'est unique c'est la solution, j'ai tenté de factoriser en faisant une équation Ecleudienne avec (x-1) en diviseur et ce n'est pas possible.

[Peter/seconde]

Pour le A)2) j'ai finalisé en disant : On en déduit que f(x) est une fonction continu car lorsque x tend vers - ou , f(x) tend vers - ou donc .
Est-ce que c'est complet?

Merci pour vos réponses.

[Arnaud-29-31]

Oula non ... tu as un problème au niveau rédaction. La continuité on l'a parce que toute fonction polynomiale est continue.

[Peter/seconde]

Oui mais si tu regardes la question A)3) "Déduisez-en que toute équation du troisième degré admet au moins une solution dans ." Le but c'est de justement montrer que la continuité on l'a sur une fonction polynôme du troisième degré.

[Arnaud-29-31]

Non ... Le but c'est de montrer que tout polynôme du troisième degré admet au moins une racine réelle.

Pour reprendre, si on prend le cas a > 0, tu as une fonction polynomiale de degré 3 définie sur R.
En f(x) tend vers , en f(x) tend vers . Et la continuité permet de dire que f décrit tout l'ensemble R. D'où f(R) = R. Et ceci nous amène à dire que 0 possède au moins un antécédent par f.
D'où : Tout polynôme de degré 3 admet au moins une racine dans R.

[Peter/seconde]

Ok j'ai compris maintenant. Merci bien.

[Rebelle_]

le TVI (théorème de la bijection si tu préfères c'est la même chose)

Absolument pas !!
Attention à ce que tu dis. Les conditions d'application de ces théorèmes sont bien différentes, de même que leurs effets. Tu noteras que le TVI implique l'existence d'au moins une solution lambda (dans les conditions connues) et que le théorème de la bijection - moyennant en plus la stricte monotonie de la fonction - rend unique cette solution.
Le TVI démontre seulement qu'il y a au moins une solution, là où le théorème de la bijection assure de son unicité : ce sont deux choses bien différentes ! L'unicité découle d'ailleurs de la stricte monotonie de la fonction, d'où la condition sine qua non à son application...

Le théorème de la bijection est une application du TVI, mais il est loin d'être équivalent.

[Peter/seconde]

Merci de la précision, je n'avais pas compris cela pendant le cours.

[Arnaud-29-31]

Moi je n'ai jamais entendu parler de théorème de bijection quand j'étais au lycée.
Chacun appelle les choses comme il le souhaite, ce qui compte c'est que tu montres bien que tu as compris avec quel argument tu obtient chaque résultat. Ici continuité donc j'applique le TVI, ca donne l'existence et enfin l'argument de stricte monotonie donne l'unicité.
Il faut éviter de faire une liste d'arguments et à la suite d'un gros "DONC" écrire le résultat souhaité ... là le prof croira au coup de bluff.

[Rebelle_]

Ooh mon pauvre petit, si tu savais comme je te plains ; tu n'as pas eu notre chance
Voilà quelques infos : [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_bijection[/url]



PS : si c'est juste comme ça que tu m'as battue ce n'est pas loyale, tu vois ce que je veux dire ^^'

[Arnaud-29-31]

Je ne pense pas que ce soit une chance, le mot bijection n'a pas sa vraiment sa place tant que l'on a pas défini les notion d'injectivité et surjectivité.