Exercice sur le centre de gravité

[Oce87]

Bonjour, toujours pour le même dm, sur les 5 exercices j'ai su en faire 4 mais une question du dernier exercice me pose un problème :'s:

ABC est un triangle quelconque du plan, les points A', B' et C' sont définis ainsi:
VecteurAC'= 2VecteursAB
VecteurBA' = 2VecteursBC
VecteurCB' = 2VecteursCA

Il faut d'abord démontrer que les triangles ABC et A'B'C' ont le même centre de gravité.

J'ai pensé à la propriété GA+GB+GC=0 mais le problème c'est que je n'arrive pas à le prouver et en plus, cette propriété ne ferait intervenir que le triangle ABC?

J'ai aussi pensé au fait que les triangles sont semblables, leurs médianes devraient donc se couper au même point, mais dans ce cas la, comment prouver le rapport GA+GB+GC=0 ?

Enfin voila, si vous pouvez me donner quelques pistes, merci d'avance!

[rene38]

Bonjour

J'ai pensé à la propriété GA+GB+GC=0 mais le problème c'est que je n'arrive pas à le prouver

Ce ne serait pas par hasard la définition du centre de gravité ?
Reste à calculer pour montrer que c'est aussi le vecteur nul.
Décompose chaque vecteur en utilisant l'égalité de Chasles et un point bien choisi
(utilise la définition des points A', B' et C').

[Oce87]

J'ai essayé cela à partir de A'B'C':

GA' + GC' + GB' = 0
GB + BA' + GA + AC' + GC + CB' = 0
GB + 2BC + GA + 2AB + GC + 2CA = 0
GB + GA + GC = 0

Mais rien ne prouve que GB + GA + GC=0 ?

Mais c'est sur que je ne dois pas utiliser les triangles semblables?

[rene38]

J'ai essayé cela à partir de A'B'C':

GA' + GC' + GB' = 0

Non : à ce point de la démonstration, tu ne peux pas affirmer cela.

Mais rien ne prouve que GB + GA + GC=0

Si : la définition vectorielle du centre de gravité.
Si elle n'est pas dans ton cours, tu peux le démontrer comme propriété.

En quelle classe es-tu ?

[Oce87]

Je suis en seconde.
Mais si je ne peux pas affirmer que cela fait 0, je ne vois pas comment faire :doh:

[Dr Neurone]

Bonjour Oce82 , une fois de plus , Chasles nous sauve la mise.

Soit G le centre de gravité de ABC : GA + GB + GC = 0
(GB' + B'A) + (GC' + C'B) + (GA' + A'C) = 0
Or B'A = AC , C'B = BA et A'C = CB
Remplace et conclus.

[Dr Neurone]

Bonjour Oce82 ,

Dans le cas ou l'on a pas besoin de démontrer que les médianes se coupent aux 2/3 de leur longueur , soit I le milieu de BC ; AG = 2/3 AI (1)

Utilise la relation de Chasles pour chaque vecteur GA, GB, GC en faisant intervenir le point I puis utiliser (1) et la propriété vectorielle du milieu d'un segment . Tu montreras ainsi que GA + GB + GC = 0 .

[Oce87]

J'ai essayé ceci mais je ne sais pas si sa comprend tout ce que tu m'as expliqué:

GI + IA + GI + IB + GI + IC = GA + GB + GC
GI + IA + GI + CI + GI + IC = GA + GB + GC (IB = CI par la propriété des milieux).
AI + IA + GA + GB + GC (3GI = AI car comme AG = 2/3 AI, GI = 1/3 AI)
0 = GA + GB + GC

[Dr Neurone]

C'est bon aussi , c'est le meme principe en tout cas et de toute façon l'objectif est atteint.

[Oce87]

Ok merci!
Je pense avoir résolu l'exercice en reprenant depuis le début:

GB + BA' + GA + AC' + GC + CB' = GA' + GB' + GC'
GB + 2BC + GA + 2AB + GC + 2CA = GA' + GB' + GC'
GA + GB + GC = GA' + GB' + GC'


Pour le triangle ABC:

GI + IA + GI + IB + GI + IC = GA + GB + GC
GI + IA + GI + CI + GI + IC = GA + GB + GC
AI + IA + GA + GB + GC
0 = GA + GB + GC

Donc comme 0 = GA + GB + GC, et que GA + GB + GC = GA' + GB' + GC', alors GA' + GB' + GC' = 0 et donc les deux triangles ont meme centre de gravité?
Mais es-ce que cela suffit pour prouver qu'ils ont réellement le même centre de gravité?