Exercice suites

[labrune647]

je n'arrive pas a résoudre un exercice
est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait

On note Sn = 1 + 2x2 + 3x2² + ...................+ (n-1)2^(n-2)
et on dot démontrer que

Sn = (n-1)2^n - n2^(n-1) + 1 pour n supérieur ou égal a 2

merci d'avance

[annick]

Bonsoir,
Es-tu sûr d'avoir copié ton énoncé correctement car il y a un truc qui me gêne.

[labrune647]

oui désolé il y avait une petite erreur je l'ai corrigée
peux tu m'aider a le faire?

[XENSECP]

Je suggère une récurrence, tout simplement :)

[labrune647]

oui j'ai commencé à la faire mais je reste bloquer au rang n+1

[XENSECP]

Ecrit Sn+1 par la définition ;)

[labrune647]

je trouve que Sn+1 = n2^(n+1) - (n+1)2^n + 1

et j'ai mi que Sn = Somme (n-1) 2^(n-2) et Sn+1 = somme n2^(n-1)

mais je ne vois pas le lien entre les deux je suis bloquée

[labrune647]

est ce que quelqu'un pourrait m'aider c'est hyper important!

[labrune647]

je trouve Sn+1 = (n-1)2^n - n2^(n-1) +1+n2^(n+1)

et mon hypothèse est Sn+1 = n2^(n+1) - (n+1)2^n +1

comment passer de la premiere ligne à la deuxième?

[tony21]

Bonjour,
Dans un raisonnement par recurrence, tu vérifies que la propostion est vraie pour le 1er rang ici pour n=2, ensuite tu supposes qu'elle est vraie pour le rang n et tu dois vérifier qu'elle est vraie pour le rang n+1.
ton hypothese de départ est donc: Sn = (n-1)2^n - n2^(n-1) + 1
tu vérifie que c'est vraie pour n=2 et du dois démonter que c'est vraie pour le rang n+1 càd tu dois arriver à
Sn+1 = ((n+1)-1)2^(n+1) -(n+1)2^((n+1)-1) + 1 qui est la même chose que
n2^(n+1) - (n+1)2^n + 1

tu pars de la définition et tu dis que
Sn+1 = 1 + 2x2 + 3x2² + ...................+ (n-1)2^(n-2) + n2^(n-1)
c'est à dire Sn+1 = Sn + n2^(n-1)
tu supposes que Sn = (n-1)2^n - n2^(n-1) + 1 est vraie
tu écris donc que Sn+1 = (n-1)2^n - n2^(n-1) + 1 + n2^(n-1)
et en manipulant cette expression tu dois arriver à
Sn+1 = ((n+1)-1)2^(n+1) -(n+1)2^((n+1)-1) + 1 et ça sera finis
bien sur vérifier que c'est vraie pour n=2 ce qui est rapide.
je te laisses trouver que Sn+1 = ((n+1)-1)2^(n+1) -(n+1)2^((n+1)-1) + 1 et si tu n'y arrives pas je t'aiderais.

[labrune647]

j'ai trouvé merci bcp!!