Exercice suites

[Dreakh]

Bonjour,
J'ai un exo de maths qui me demande de prendre toutes les initiatives et je bloque un peu... (bon d'accord beaucoup ^^)
L'énoncé est :

f est la fonction polynôme définie par :
f(x) = (x + 1)^3 - x^3
On note S = 1 + 2 + 3 + ... + n
et P = 1² + 2² + 3² + ... + n²
a) Démontrez que :
f(1) + f(2) + ... + f(n) = 3P + 3S + n
b) Calculez S et P en fonction de n

J'ai développé f(x) et je trouve f(x) = 3x² + 3x + 1 (on retrouve la structure 3P + 3S + n mais je ne sais pas comment faire le rapport)
J'ai essayé plusieurs piste en cherchant comment noter la suite des carrés parfaits ect... Mais ça ne m'a mener nul part .
Si qqn a une idée merci

[Ben314]

Vu que tu as montré que, pour tout réel x, on a f(x) = 3x² + 3x + 1, cela signifie que :
f(1)=...
f(2)=...
f(3)=...
.
.
.
f(n)=...

Et là, si on ajoute tout... miracle !!! :id:

P.S. Dans f(1)=... , f(2)=..., il ne faut surtout pas faire le calcul, mais simplement écrire ce que dit la formule lorsque x=1 puis x=2...

[Dreakh]

Merci beaucoup ;D !
Pour la deuxième question j'arrive a trouver S, c'est la suite des entiers successifs, facile...
S = [n(n+1)]/2

Pour P j'ai trouvé sur Wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_parfait) que la somme des carrés parfaits successifs était :
p = [n(n+1)(2n+1)]/6
Mais contrairement à S je ne sais pas le démontrer...
J'ai trouver ici des solutions (http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-college-lycee/82240-somme-carre-parfaitoe.html) mais elles sont très compliquées...
Si vous avez plus simple merci de me le faire savoir .

[Ericovitchi]

Mais si mais si. Car f(x) = (x + 1)^3 - x^3

Donc quand tu écris f(1) + f(2) + ... + f(n) les termes vont se simplifier 2 à deux et il ne va rester que le premier et le dernier
f(1)=2³ -1³
f(2)=3³ -2³
-------
f(n)=(n+1)³ -n³

donc f(1)+...+f(n)= (n+1)³ -1 et comme par ailleurs tu as aussi montré que c'était 3P + 3S + n et que tu connait S tu vas trouver P !!

[Dreakh]

En effet je n'y avait pas pensé.
Je l'ai fait, fait et refait mais je trouve chaque fois le même résultat (2n^3 + 3n² + n)/6 qui ne correspond pas au résultat de Wikipedia qui est (3n^3 + 6n² + n)/6 ...
Quel résultat est le bon ? :(

[Ericovitchi]

ben oui tu as bon 2n^3 + 3n² + n = n(n+1)(2n+1)