Exercice suites: recurrences homographiques

[lydiaribelle]

Bonjour,
J'ai un exercice de maths que je n'arrive pas a terminer. Voici l'enonce:

Soit ( Un)n appartenant a N, la suite definie par U0=1 et Un+1= Un/ Un+2

1. a) Calculer U1, U2 et U3
b) Montrez par recurrence que pour tout n, Un> 0. En deduire que (Un) n appartenant a N est bien definie.

2. Soit (Vn)n appartenant a N, la suite definie par: Vn= Un/ Un+1
a) Montrer que (Vn) est une suite geometrique
b) Ecrire Vn en fonction de n
c) En deduire Un en fonction de n

Ce que j'ai deja trouve:
1. a) U1= 1/3, U2= 1/7, U3= 1/15
b) Initialisation: U0=1 donc la propriete est vraie au premier rang.
Je ne sais plus quoi faire apres ca.

2. a) Ici, on doit juste faire Vn+1/Vn
b) Ensuite on doit juste appliquer la formule V0*q^n

Merci en avance pour votre aide notamment pour la question 1.b)!

[pascal16]

Un+1= Un/ Un+2

supposons au range n que Un>0
on a alors Un+2>0
donc
-> Un/ Un+2 existe car Un+2 non nul
-> Un/ Un+2 >0 comme division de deux nombres strictement positifs.

[titine]

Soit ( Un)n appartenant a N, la suite definie par U0=1 et Un+1= Un/ Un+2

Ne veux tu pas plutôt dire :
U(n+1) = U(n) / (U(n)+2) ?

[lydiaribelle]

Merci pour vos reponses. Oui, c'est bien U(n+1)= U(n)/ (U(n)+2).
J'ai reussi a trouver la reponse a la question 1.b.
Cependant, je reste bloque sur la question 2.a
Pour l'instant, j'ai V(n+1)= U(n+1)/ (U(n+1) +1) et puis on remplace U(n+1) par ce qu'on a dans l'enonce.
Par la suite, on fait V(n+1)/V(n), mais je n'arrive pas a trouver la raison.
Merci!

[pascal16]

au dénominateur, tu remplaces 1 par (Un+2)/(Un+2)

tous les Un+2 des fractions se simplifient

reste (1/2)*Un/(Un+1)

[lydiaribelle]

Merci beaucoup!