Exercice de suites plutot embêtant...

[Walter White]

Bonjour,

J'ai un peu avancé dans mon DM sur les suites posté il y a quelques jours (cela concernait alors une autre partie) :
J'en suis là :
http://www.noelshack.com/2014-10-1393979002-suites-arithmetiques-et-geometriques.jpg

Je suis rendu exactement à l'exercice 2 à la toute dernière question.

J'ai fait : donc

(je mets pas tout le détail du calcul pour aller un peu plus vite)

Donc la suite est bien géométrique de raison q=3 et et de premier terme

Mais j'ai un problème pour calculer les 12 premiers termes, j'ai fait :




Si je soustrait les deux lignes j'ai bien :

Et donc



MAIS, en faisant sur ma calculette, pour vérifier, je tombe sur un résultat complètement différent, de 265720.

Donc je me demande, qu'est-ce que j'ai fait de faux dans mon calcul ?

Autre petite question beaucoup moins importante, j'aime bien comprendre ce que je calcule et je comprends pas pourquoi on met le 1 devant l'addition des termes de la suite, 1+q+...+. A quoi sert ce 1 ? Est-il ici parce qu'il représente q^0 ?

[ampholyte]

Bonjour,

Repartons plutôt de la formule du cours. Tu sais que :

Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors la somme des n + 1 premiers termes de cette suite est de la forme :



Dans ton cas u0 = 9 et q = 3, tu cherches les 12 premiers termes soient n + 1 = 12, on a donc :



Dans ta formule il te manque le premier terme u0.

Pour ta seconde question, le 1 apparaît à cause de la mise en facteur de u_0 =).

[paquito]

Bonjour,

Repartons plutôt de la formule du cours. Tu sais que :

Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors la somme des n + 1 premiers termes de cette suite est de la forme :



Dans ton cas u0 = 9 et q = 3, tu cherches les 12 premiers termes soient n + 1 = 12, on a donc :



Dans ta formule il te manque le premier terme u0.

Pour ta seconde question, le 1 apparaît à cause de la mise en facteur de u_0 =).

Uo= 9 et non pas 3 donc S=9((3^12-1)/(3-1)); j'utilise ici 1+q+q²+...+q^n= (q^(n+1)-1)/(q-1) pour éviter de travailler avec des négtifs (quand q>1).

[Walter White]

Bonjour,

Repartons plutôt de la formule du cours. Tu sais que :

Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors la somme des n + 1 premiers termes de cette suite est de la forme :

Dans mon cours et dans un livre de maths que j'ai acheté pour m'aider j'ai et pas de multiplication par U0, je ne remets pas votre parole en doute, mais pour le coup je sais plus quoi faire... Peut-être que mon calcul est faux et que je me suis trompé quelque part ?

[ampholyte]

Je suppose que dans ton cours, le premier élement de ta suite est simplement u0 = 1 d'où l'absence de u0 dans ton cours =).

[paquito]

Ton cours te donne S quand la somme commence par 1=q^0.
ici tu n'as pas à calculer 1+3+3²+....+3^10+3^11, mais:
S=3²+3^3+3^4+...+3^12+3^13; tu peux forcément mettre 3² en facteur, d'où:
S=3²(1+3+3²+....+3^10+3^11) donc on peux toujours se ramener au calcul de 1+q+q²+....+q^n en mettant en facteur le premier terme Uo s'il est différent de 1.
La formule du cours s'applique donc pour toutes les suites géométriques; Une difficulté intervient quand il faut trouver le nombre de termes de la somme; exemple:
Calculer S= 3+ 9+ 27+............+14348907. Il faut alors chercher la valeur de n tel que 3^n=14348907 à l'aide de la calculatrice.

[Walter White]

Ton cours te donne S quand la somme commence par 1=q^0.
ici tu n'as pas à calculer 1+3+3²+....+3^10+3^11, mais:
S=3²+3^3+3^4+...+3^12+3^13

Effectivement ! Donc,
S=3²+3^3+3^4+...+3^12+3^13
qS=3^2(1+3+3^2+...+3^11)

Et la soustraction des deux lignes serait égale à ? Je me référais à ceci pour procéder : http://www.noelshack.com/2014-10-1394017810-cours-du-livre.jpg

Donc ici je fais







Mais pourtant,

[paquito]

Effectivement ! Donc,
S=3²+3^3+3^4+...+3^12+3^13
qS=3^2(1+3+3^2+...+3^11)

Et la soustraction des deux lignes serait égale à ? Je me référais à ceci pour procéder : http://www.noelshack.com/2014-10-1394017810-cours-du-livre.jpg

Donc ici je fais







Mais pourtant,

Il faut écrire: S=9(1-3^12)/(1-3)=2391480

[Walter White]

Il faut écrire: S=9(1-3^12)/(1-3)=2391480

Ah, merci bien ! J'aurais jamais eu l'idée de l'écrire comme ça, je saurai jamais refaire ça en contrôle mon dieu... Le prof a dit que ce genre d'exo devait être fait en 15-20 minutes je suis pas foutu de le faire en une heure...

C'est normal que 2391480 soit pas le même résultat que quand on tape à la calculette ?

Entre temps je suis passé à l'exercice 3 et j'ai fait :

Idem pour U2 U3 etc mais en remplaçant. C'est bon ou une autre méthode est attendue ?

[paquito]

Si, si on fait 3²+3^3+.....+ 3^13 à la calculatrice, on obtient le même résultat. Recommence.

On a Vn+1=Un+1-1/2: Un+1=(1/2)Un+(1/4) donc Vn+1=(1/2)Un+(1/4)-1/2=(1/2)Un-1/4 et Un=Vn+1/2, donc Vn+1=(1/2)(Vn+1/2)-1/4=(1/2)vn. Vn est donc une suite géométrique de raison q=1/2.
V0=1-1/2=1/2 donc Vn=(1/2)((1/2)^n) et Un=Vn+1/2= (1/2)((1/2)^n+1/2.
Ce type d'exercice est un grand classique; donc je te rappelle les étapes:
Vn en fonction de Un te donne Un en fonction de Vn, donc aussi Vn+1 en fonction de Un+1; comme tu as Un+1 en fonction de Un, tu trouve Vn+1 en fonction de Un; Tu utilise Un en fonction de Vn pour arriver à Vn+1=qVn; après, tu utilise des résultats de cours (il faut quand même calculer V0).
Entraîne toi, et tu y arriveras.

[Ben314]

S=3²+3^3+3^4+...+3^12+3^13
qS=3^2(1+3+3^2+...+3^11)

Je sais pas pourquoi, à chaque fois que tu écrit ce truc, tu l'écrit de façon à ce que ça soit inintelligible : dans ton exo, q il vaut 3 donc soit tu met des 3 partout à la place de q soit tu veut rester théorique et tu met des q ...
Perso, je trouve ça tout sauf con de refaire la preuve à chaque fois plutôt que d'apptrendre le résultat par coeur.
Ici, par exemple, tu écrit que :
(en évitant de te gourrer sur le nombre de termes...)
Tu en déduit que (sans rien factoriser)
et donc que (les autres termes s'éliminent) ce qui te permet de trouver .

[Walter White]

J'ai finalement compris et réussi à finir l'exercice 3 !

En faisant une pause et en revenant les choses se sont enchainées assez automatiquement.

Seul truc que j'ai pas compris et qui me manque : Pourquoi Un=Vn+1/2 ?

J'ai bien trouvé que Vn+1=1/2Vn mais sans me servir de cela, juste en factorisant Vn+1=1/2Un-1/4 = 1/2(Un-1/2)

Par contre pour définir Un selon n j'en ai besoin. Et j'ai beau regarder je le vois écrit nulle part et j'arrive pas à le déduire.

Ben314 : Oui, ça peut arriver, le truc c'est que je sais que la méthode vue scolairement me convient pas, et que les maths (et toutes les matières) abordés d'une manière avec laquelle je suis en osmose peuvent me paraître ultra simple et aux autres très durs. C'est comme ça depuis que je suis petit, j'ai été "diagnostiqué" très haut QI, pour autant je percute pas des trucs simples et je peux assimiler très vite des "montagnes" si elles me sont expliquées d'une manière assez précise. D'ou ma venue sur les forums, avoir plusieurs angles de vue. Mais c'était sûrement inintelligible, quand j'évolue dans une méthode qui n'est pas la mienne (en maths j'en ai pas encore trouvée qui me corresponde) je me mélangerai et j'y arriverai avec grande peine.

Cette image illustre bien ma situation : http://esukudu.files.wordpress.com/2012/12/esukudu_einstein_failles_systeme_educatif.jpg?w=584

PS : à la deuxième personne on met un «s» (sans vouloir paraître condescendant hein, juste un conseil comme ça). «tu dis» / «tu écris» etc.

Merci beaucoup de ta réponse en tout cas.

[paquito]

J'ai finalement compris et réussi à finir l'exercice 3 !

En faisant une pause et en revenant les choses se sont enchainées assez automatiquement.

Seul truc que j'ai pas compris et qui me manque : Pourquoi Un=Vn+1/2 ?

J'ai bien trouvé que Vn+1=1/2Vn mais sans me servir de cela, juste en factorisant Vn+1=1/2Un-1/4 = 1/2(Un-1/2)

Par contre pour définir Un selon n j'en ai besoin. Et j'ai beau regarder je le vois écrit nulle part et j'arrive pas à le déduire.

Ben314 : Oui, ça peut arriver, le truc c'est que je sais que la méthode vue scolairement me convient pas, et que les maths (et toutes les matières) abordés d'une manière avec laquelle je suis en osmose peuvent me paraître ultra simple et aux autres très durs. C'est comme ça depuis que je suis petit, j'ai été "diagnostiqué" très haut QI, pour autant je percute pas des trucs simples et je peux assimiler très vite des "montagnes" si elles me sont expliquées d'une manière assez précise. D'ou ma venue sur les forums, avoir plusieurs angles de vue. Mais c'était sûrement inintelligible, quand j'évolue dans une méthode qui n'est pas la mienne (en maths j'en ai pas encore trouvée qui me corresponde) je me mélangerai et j'y arriverai avec grande peine.

Cette image illustre bien ma situation : http://esukudu.files.wordpress.com/2012/12/esukudu_einstein_failles_systeme_educatif.jpg?w=584

PS : à la deuxième personne on met un «s» (sans vouloir paraître condescendant hein, juste un conseil comme ça). «tu dis» / «tu écris» etc.

Merci beaucoup de ta réponse en tout cas.

Ta méthode est bonne, mais pour conclure, il te faut Un=Vn+1/2 qui découle de Vn=Un-1/2; on transpose -1/2 dans l'autre membre, c'est tout.