Exercice suite récurrence

[nikiboos28]

bonjour à tous,
Je trouve cet exercice très dur malgré le fait que je me débrouille pas mal en récurrence.
EXO:
Φ=solution positive de x²-x-1=0 soit le nombre d'or (1+V5/2) avec V = racine carré
On pose b0=2 et pour tout entier naturel n b(n+1)=Vb(n)+1 avec b(n)+1 sous la racine
1) Montrer par récurrence que pour tout entier n>=0, Φ=<b(n+1)=<bn=<2
2)en déduire que b(n) converge
3)Montrer que pour tout entier n>=0, 0=<b(n+1)-Φ=<1/3(b(n)-Φ)
4) en deduire que pr n>=1, O=<b(n)-Φ=<(1/3)^n
LIMITE DE b(n)?
5) déterminer un entier n2 tq si n>=n2 alors b(n)-Φ=<10^-6 en valeur absolue

Pour la 1 j'ai donc mis que b(n+2)=<b(n+1) et j'ai remplacé avec le reste mais cela ne mène à rien.
Je ne vois vraiment pas comment faire pour la suite ou il y a une démonstration, nous n'avons jamais vu de démos aussi dur, quelqu'un pour me donner une méthode svp!
Merci beaucoup

[Sa Majesté]

Salut,

Récurrence pour montrer que pour tout n entier naturel :

Initialisation : pas de problème

Hérédité :
Soit m entier naturel pour lequel

Exprime en remplaçant

[nikiboos28]

et bien c'est ce que j'ai fait mais j'obtiens b(n+2)=(VVb(n)+1+1)-Vb(n)+1, on ne peut pas contineur le calcul!

[nikiboos28]

et pour la suite svp je vois vraiment pas comment faire

[Sa Majesté]

Tes écritures avec des V sont illisibles



Maintenant tu utilises la quantité conjuguée

[nikiboos28]

ok en faisant ca je trouve b(n+1)/Vb(n+1)+1 et c'est positif donc b(n+2)>b(n+1) c'est ca?

[Sa Majesté]

Ton résultat n'est pas bon.
Détaille ton calcul.

[nikiboos28]

oui autant pour moi je trouve -1/b(n+1)+Vb(n+1)+1 mais c'est négatif.
je ne comprends pas pk on doit faire b(n+1)-b(n+2) et pas l'inverse. si b(n+1)-b(n+2) est négatif comme je l'ai trouvé ca veut dire que b(n+1)>b(n) or on nous demande de prouver exactement le contraire.
de plus comment prouver que b(n+1) est =<2 et est >=Φ

[Sa Majesté]

je ne comprends pas pk on doit faire b(n+1)-b(n+2) et pas l'inverse.

Peu importe.
Soit tu montres que b(n+1)-b(n+2) est positif, soit tu montres que b(n+2)-b(n+1) est négatif.

[nikiboos28]

D’accord mais mon calcul et bon ou pas et comment montrer que c’est plus petit que 2 ?
Et la suite svpp

[Sa Majesté]

Il faut chercher un peu ...



Et on conclut grâce à l'hypothèse de récurrence.

[nikiboos28]

mais au numérateur, on ne sait pas si b(n)-b(n+1) est + ou -

[Sa Majesté]

Mais si !
C'est l'hypothèse de récurence.

Hérédité :
Soit m entier naturel pour lequel , on montre qu'alors

Il faut que tu revoies les démonstrations par récurrence.

[nikiboos28]

donc on trouve qqchose de positif et don b(n+1) >b(n+2)

[Sa Majesté]

Oui c'est ça

[nikiboos28]

et maintenant pr encardrer avec phi et 2?

[nikiboos28]

des que cest un peu dur ya plus personne

[Sa Majesté]

des que cest un peu dur ya plus personne

Tu manques pas d'air toi !
Par récurrence, ça se fait très bien, c'est même plus facile que de montrer que b(n+1) < b(n).

[nikiboos28]

jen n'y arrive pas malgré plusieurs essaies

[Tuvasbien]

Soit , est croissante sur , , et , avec ça tu peux normalement rédiger la récurrence.