Exercice Suite et Limites (Term S)

[WannTrad]

Bonjour,

Je suis bloqué lors de la résolution d'un exercice sur les suites.

L'énoncé est le suivant

Soit la suite (Un) définie pour n entier naturel non nul par :
avec

Montrer que (Un) converge et déterminer sa limite.
On pourra utiliser une suite intermédiaire (Vn)


J'ai donc conjecturer à l'aide des premiers termes, que la suite (Un) était majorée par 4 et croissante.

J'ai démontré la majoration par 4 à l'aide d'un raisonnement par récurrence et je me suis servi du résultat pour trouver le signe de
J'ai donc démontré la convergence à l'aide de la propriété "toute suite majorée et croissante converge".

Mais je n'ai pas trouvé le moyen comment déterminer la limite à l'aide de ses seules informations...
dois-je montrer que 4 est le plus petit majorant? Si oui comment?

D'autres pistes?

Merci pour vos réponses.

[Ncdk]

Hum...

Tu as prouvé que la suite était croissante vers 4, et que 4 majore cette suite.

Si tu veux être sur, tu peux voir l'astuce du

En disant que donc

[WannTrad]

J'y avais bien pensé mais comment le rédiger correctement sachant qu'il s'agit d'un calcul de limites?

Le raisonnement avec l'astuce du que vous donnez est issue de la propriété qui dit que Un+1 et Un ont la même limite et d'une composée de fonctions... mais peut-on "sans risques" mélanger les limites (ici ) avec la variable qui elle tend vers l'infini.
Quand je dis "sans risques", je veux dire sans qu'un correcteur pointilleux y trouve à redire (et donc à enlever des points).

Merci pour la précédente réponse et merci pour la suivante aussi

[Carpate]

J'y avais bien pensé mais comment le rédiger correctement sachant qu'il s'agit d'un calcul de limites?

Le raisonnement avec l'astuce du que vous donnez est issue de la propriété qui dit que Un+1 et Un ont la même limite et d'une composée de fonctions... mais peut-on "sans risques" mélanger les limites (ici ) avec la variable qui elle tend vers l'infini.
Quand je dis "sans risques", je veux dire sans qu'un correcteur pointilleux y trouve à redire (et donc à enlever des points).

Merci pour la précédente réponse et merci pour la suivante aussi

majorée et croissante converge
Quand et

[Ncdk]

Pour être rigoureux et mettre les choses dans le bon ordre, il faut déjà regarder si ta suite est croissante, et se posait la question, elle est croissante vers où ?
Tu as eu l'idée de 4 et encore mieux tu as prouvé que la suite était majorée par 4 !
Du coup si ta suite est croissante et si ta suite est majorée par 4, alors elle converge vers 4.

Ensuite, si je dis pas de bêtises, normalement il y a une propriété ou un théorème dans ton cours qui te dit la chose suivante :

"Si converge vers et que est continue en , alors converge vers "

Il est plus facile de poser que , c'est simple et efficace.

Pour en revenir à nos moutons, on cherche qui est en réalité : .
La chose à faire est de remplacer f(U_n) car on voit bien qu'elle est continue, donc on remplace par f(l). Cela donne bien pour le membre de droite .
Pour le membre de gauche, c'est aussi vu que la suite est croissante et majorée, donc et ont la même limite .

EDIT : C'est en gros l'idée de Caparte avec l'étude de la limite de , sauf que ça va bien plus vite, c'était juste histoire de voir comment on faisait

[chan79]

Du coup si ta suite est croissante et si ta suite est majorée par 4, alors elle converge vers 4.

attention, c'est une étourderie, je pense


on peut poser


Ensuite:












Multiplie et tu dois arriver à:



ce qui montre directement la limite

[chan79]

il manque un dénominateur

[WannTrad]

on peut poser


Ensuite:

J'ai eu un éclair cette nuit en me disant que si tend vers 4 alors tend vers 0.
J'avais l'espoir secret que la suite V soit géométrique de raison un réel de l'intervalle ]-1; 1[.
Malheureusement ce n'était pas le cas et je suis arrivé au même point que vous.

Par contre quand vous dites :

Multiplie et tu dois arriver à:



ce qui montre directement la limite

je ne vous suis plus... multiplier par quoi?

[mathelot]

J'ai eu un éclair cette nuit en me disant que si tend vers 4 alors tend vers 0.
J'avais l'espoir secret que la suite V soit géométrique de raison un réel de l'intervalle ]-1; 1[.
Malheureusement ce n'était pas le cas et je suis arrivé au même point que vous.

Par contre quand vous dites :


je ne vous suis plus... multiplier par quoi?

d'après Chan



ta suite est pseudo-géométrique.


multiplie ces n-1 égalités en faisant varier k
de 2 à n.

[chan79]

Si tu multiplies membre à membre, tu as des simplifications

il reste

[Ncdk]

En fait, oui j'ai fait une erreur, c'est bien croissante vers 4, il manque le vers 4.

[a.dugas29]

Bonjour a tous et a toute je suis actuellement en reprise d'étude DAEU B (équivalent BAC S)

je peine sur un exercice concernant les limites

je dois trouver le domaine de définnition de la fonction B(x)= 2x+1/(4-3x)^2 <-- (au carré)

j'ai trouvé que le domaine de définition est de 0 (est ce ok?)

par la suite il me demande les limites en + et - l'infini

et la je ne c'est pas trop comment m'y prendre est ce la même méthode que les autres (je prend les monômes de plus haut degré sur le numérateur et le dénominateur) et j'en déduit ma limite en + et - l'infini ? donc ici 2x/-3x? sinon je ne c'est pas comment faire c'est le carré qui me pose soucis


merci d'avance pour votre aide à tous

[WannTrad]

Bonjour a tous et a toute je suis actuellement en reprise d'étude DAEU B (équivalent BAC S)

je peine sur un exercice concernant les limites

je dois trouver le domaine de définnition de la fonction B(x)= 2x+1/(4-3x)^2 <-- (au carré)

j'ai trouvé que le domaine de définition est de 0 (est ce ok?)

par la suite il me demande les limites en + et - l'infini

et la je ne c'est pas trop comment m'y prendre est ce la même méthode que les autres (je prend les monômes de plus haut degré sur le numérateur et le dénominateur) et j'en déduit ma limite en + et - l'infini ? donc ici 2x/-3x? sinon je ne c'est pas comment faire c'est le carré qui me pose soucis


merci d'avance pour votre aide à tous

Bonjour a.dugas29,

Je pense qu'il est préférable de créer une conversation dédiée dans le forum plutôt que de poser votre question dans une discussion qui n'a rien à voir.

Pour ce qui est de la recherche d'un ensemble de définition il faut connaitre les ensembles de définition des fonctions usuelles et voir s'il y a des restrictions sur les opérations effectuées (exemples : ne pas diviser par 0 ou par une expression qui s'annule, ne pas mettre d'expressions négatives sous une racine carrée, etc..)

C'est pour ça que votre ensemble de définition n'est pas correcte.

Pour ce qui est des limites, la méthode générale semble bonne mais le résultat ne l'est pas.
si c'est plus facile pour vous, je vous conseille développer le dénominateur.
Ca devrait être plus facile pour le calcul de vos limites!

[WannTrad]

Bon pour ceux que ça interesse voici la réponse...

On sait que avec

Ainsi

On pose pour tout n entier naturel non nul.

Ainsi


or et donc on peut écrire que :


Donc la suite est arithmétique de raison r=4 et de premier terme

Donc pour tout n entier naturel non nul,

soit



On sait que : donc

Ainsi

Il reste à effectuer le calcul de limites...


Auriez vous pu y penser vous même si vous étiez un élève de terminale.

[chan79]

On pouvait donc résoudre au moins de deux façons différentes selon le choix de la suite Vn ( soit Vn=nUn soit Vn=Un-4)

[WannTrad]

Bonjour!

Pour ma part j'ai compris la mécanique des 2 méthodes mais je ne suis pas intimement convaincu qu'un élève lambda de Terminale S puisse fournir ce genre de raisonnement après un mois de cours et sans indications particulières...

Malheureusement la méthode avec Vn=Un-4, ne nous donne pas de résultats "facilement" exploitables :
1) il faut penser à la multiplication membre à membre (qui n'est pas une méthode très courante)!
2) il faut arriver à le rédiger/prouver (récurrence?) et là encore c'est dense (pas impossible mais je ne sais pas si c'est à la portée de tout un chacun d'avoir ce type de raisonnements...)

Enfin bref, merci de vous être cassé la tête avec moi

A bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques!

[chan79]

Bonjour!

Pour ma part j'ai compris la mécanique des 2 méthodes mais je ne suis pas intimement convaincu qu'un élève lambda de Terminale S puisse fournir ce genre de raisonnement après un mois de cours et sans indications particulières...

Tout dépend comment est ficelé l'énoncé. Si on précise quelle suite Vn on doit utiliser, ça devient plus facile.
Pour ma part, j'avais utilisé un tableur pour conjecturer que la limite est 4.
Il m'a semblé naturel de poser Vn=Un - 4 et de montrer que cette suite Vn tend vers 0.
L'autre méthode est bien évidente, une fois qu'on l'a vue ... :zen: