EXErcice de suite et de limites

[psg75013]

Bonjour à tous:
j'ai besoin d'aide pour un exo de maths que je ne comprend pas bien
On considère la suite (Un) définie par: Uo=a et U1=b
et N de n, U(n+1) = Un + U(n-1)/2
et la suite Vn définie par : N de n, Vn = Un- U(n-1)

1) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique et en déduire l'expression de Vn en fonction de n

2) Déterminer de i=1 à n de Vi en fonction de n

3) En déduire Un en fonction de n

4) Déterminer lim Un quand n tend vers +;)



1) Prouver qu'une suite est géométrique : V(n+1)/ Vn
= U(n+1) - Un / Un-U(n-1)
Je bug déjà car je ne vois pas comment réussir à faire disparaitre Un et U(n-1) pour faire apparaitre ma raison q

HELP PLEASE

[Ericovitchi]

tu formes

[psg75013]

Merci j'avais pas vu le rapprochement avec Vn
donc Vn suite géo de raison -1/2

Vn= Voxq^n
Vn= Uo-U(-1) x (-1/2)^n ?? C'est juste ou je dois simplifier?

[psg75013]

Pouvez vous m'aider

[Ericovitchi]

oui attention U(-1) ça n'existe pas
Disons V1=U1-U0=b-a
Vn=V1(-1/2)^(n-1)=(b-a)(-1/2)^(n-1)

[psg75013]

D'accord merci beaucoup.

[Ericovitchi]

Et alors tu as trouvé vers quoi tendait Un ?

[psg75013]

Est ce que: ;) de i=1 à n de Vi, en fonction de n est égale à V(n+1)

Donc ;) de i=1 à n de Vi en fonction de n = (b-a)(-1/2)^n ???

:briques: :help: :help:

[psg75013]

Et alors tu as trouvé vers quoi tendait Un ?

J'en suis à la 2) :ptdr:

[Ericovitchi]

de i=1 à n de Vi en fonction de n est égale à V(n+1)

non pourquoi ça vaudrait ça ?

Pour calculer la somme il faut que tu écrives toutes les équations les une en dessous des autres :
Un-Un-1= (b-a)(-1/2)^(n-1)
Un-1-Un-2= (b-a)(-1/2)^(n-2)
------------------------------
u2-u1=(b-a)(-1/2)
u1-u0= (b-a)

et puis tu ajoutes toutes les équations membre à membre
à gauche il va rester un-u0 et à droite il faut faire la somme des termes d'une suite géométrique ; formule classique.

[psg75013]

Donc si j'ai bien comprit, Un-Uo = (b-a) x [(-1/2)^n-1 - 1/(-1/2)-1]

( = V1x[(q)^n-1 -1/q -1 ] ) ?????

[Ericovitchi]

oui à peu près, mais mettre le (-1/2) à la puissance n car la formule c'est (1-q^n)/(1-q)

[Ericovitchi]

mettre le (-1/2) à la puissance n car la formule c'est (1-q^n)(1-q)

[psg75013]

mettre le (-1/2) à la puissance n car la formule c'est (1-q^n)(1-q)

Oui mais on part de V1, pas Vo Sa change rien??

[Ericovitchi]

Peu importe, tu veux additionner
donc ça vaut

[psg75013]

Ma somme = (b-a) x ((1+(1/2)n)/ 1+(1/2) ??

[Ericovitchi]

et le u0 il est passé où ?

et le - devant (1/2)^n pourquoi il a disparu ?

[psg75013]

et le u0 il est passé où ?

et le - devant (1/2)^n pourquoi il a disparu ?

Je me suis planté pour le -, je l'ai oublié en faisant une bêtise mais malheureusement je suis complètement paumé ..... :briques:


Un-Uo = (b-a) x [(-1/2)^n - 1/(-1/2)-1]
a partir de là je suis largue.
Dsl

[Ericovitchi]

simplifies un peu. tu as aussi u0=a
et donc tu es presque au bout tu as bien la formule un en fonction de n

il te reste à trouver la limite quand n tends vers l'infini

[psg75013]

Un-Uo = (b-a) x [(-1/2)^n - 1/(-1/2)-1]

En simplifiant je trouve Un-Uo= (b-a) x (-1/2)^n-1 +1

donc ma somme = (b-a) x (-1/2)^n-1 +1
(pff je suis vraiment mauvais en maths ya encore un truc qui va pas je pense car n-1 c'est bizarre) :cry: :cry: :cry: :mur: :mur: :mur: