Exercice suite convergente TS

[Lmaths]

Bonjour,

Je bloque à un exercice de DM :

"On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x)= 1/6(x^2 +8).

(L'exercice est divisé en deux parties et dans la première nous avons montré que g(x) = x admet 2 solutions qui sont 2 et 4, et que les intervalles [0 ; 2] , [2 ; 4] et [4 ; + ∞ [ sont stables sur g.)

Soit (Un) la suite définie sur N par son premier terme Uo (Uo > 0) et par la relation de récurrence Un+1 = g(Un). On admet que pour tout intervalle I stable par g, si Uo appartient à I alors tous les termes de (Un) sont dans I.

1 - Si la suite (Un) converge vers L, quelles sont les valeurs possibles de L .
2- Montrer que Un+1 - Un = 1/6 (Un - 2) (Un - 4) pour tout n entier naturel.
3 - On suppose que Uo = 1. Montrer que (Un) converge et déterminer sa limite.
4 - Faire de même avec Uo = 3 puis montrer que si Uo=5 alors (Un) diverge."

Mes suppositions sont les suivantes :

1 - Les valeurs possibles sont 2 et 4 (valeurs trouvées dans la première partie).
2 - J'arrive bien à faire la démonstration, pas de problème.
3 - Faut-il utiliser la formule (f(a+h)-f(a))/ h pour cette question ? Comment faire le lien avec la question précédente ?
4 et 5 - Une fois que j'aurais trouvé pour la 3, je pense y arriver.

Quelqu'un aurait-il une piste ?

[lyceen95]

La question 2 te permet de calculer facilement le signe de U(n+1) - U(n). Et donc, tu peux conclure.

[Lmaths]

Re-bonjour,

donc on remplace Un dans l'expression de Un+1 - Un par Uo et on trouve la limite ? Ce qui ferait, par exemple pour Uo=1, 1/2 ?

[lyceen95]

Euhhhh dans ton premier message, tu disais qu'il n'y a que 2 valeurs possibles pour la limite, c'est soit 2, soit 4 .
Et sinon, la suite diverge. Et maintenant, tu dis que la limite serait 1/2 ?

Resaisis-toi ... rappelle-toi les 2 ou 3 théorèmes principaux que tu connais sur ce chapitre. Ainsi que les résultats obtenus au début de l'exercice.

Je parlais du signe de U(n+1)-U(n) ...essaie de voir où ça peut nous emmener.