Exercice de spé maths factorielles

[marcsa]

Bonjour à tous et toutes, j'ai un exercice à faire en spé et j'avoue que je suis vraiment perdue. Je suis vraiment incapable de faire quoi que ce soit, je ne vois vraiment pas comment faire à part rendre une feuille blanche.
Voici l'énoncé:
1)a) Calculer 2!, 3!, 4!
b) Avec le logiciel XCas, calculer 21!, 52! 103!

2a) On a programmé avec le logiciel Cas une fonction déterminant le nombre de zéros terminant (à droite) l'écriture décimale de l'entier n.
Le programme est:
nbZero(n):={
local compteur, q;
compteur:=0;
q:=n/10
tant que q==floor(q) faire
..............................;
q:=q/10
ftantque;
retourne compteur;
}:;
Une ligne a été effacée. Quelle peut-être cette ligne?
Tester le bon fonctionnement du programme en entrant nbZero(5300)dans une ligne de commande.

b)On propose un autre programme ayant le même rôle:
nbZ(n):={
local c,p;
c:=1
p:=10^c
tant que irem (n,p)==0 faire
c:=c+1
p:=10^c
ftantque;
retourne.......................;}:;
Compléter la dernière ligne. Tester le bon fonctionnement.

c) La fonction factoriser_entier() du logiciel Xcas retourne la factorisation en nombres premiers de l'entier donnée en argument. Al'aide de cette instruction et des questions précédentes, conjecturer le nombre de zéros terminant l'écriture décimale de n!

3)a) Programmer une fonction nbCinq(m) dont l'entrée m est un entier naturel et dont la sortie est l'exposant de 5 dans la décomposition de m en facteurs premiers.
b) On définit la séquence suivante: seq(nbCinq(n!)-nbZero(n!),n,1,100)
Quel affichage s'attend-on à obtenir? Vérifier.
c) Justifier que l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de n! est toujours inférieur à l'exposant de 2 dans cette décomposition .
d) Démontrer la conjecture faite à la question 2c)

Je n'ai réussi qu'à faire le 1. Je n'ai jamais utilisé ce logiciel et je n'y comprends rien.
Voici mes réponses:
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!=1*2*3*4=24

21!=5,1090942*10^19
52!=8,0658175*10^67
103!=9,902901*10^163

Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de lire et peut-être de m'aider

[SAGE63]

Bonjour

Une présentation qui pourrait vous aider (je n'ai pas la solution).

1 ! = 1
2 ! = 2
3 ! = 6
4 ! = 24
5 ! = 120
6 ! = 720
7 ! = 5 040
8 ! = 40 320
9 ! = 362 880
10 ! = 3 628 800
11 ! = 39 916 800
12 ! = 479 001 600
13 ! = 6 227 020 800
14 ! = 87 178 291 200
15 ! = 1 307 674 368 000
16 ! = 20 922 789 888 000
17 ! = 355 687 428 096 000
18 ! = 6 402 373 705 728 000
19 ! = 121 645 100 408 832 000
20 ! = 2 432 902 008 176 640 000
21 ! = 51 090 942 171 709 400 000
22 ! = 1 124 000 727 777 610 000 000
23 ! = 25 852 016 738 885 000 000 000
24 ! = 620 448 401 733 239 000 000 000
25 ! = 15 511 210 043 331 000 000 000 000
26 ! = 403 291 461 126 606 000 000 000 000
27 ! = 10 888 869 450 418 400 000 000 000 000
28 ! = 304 888 344 611 714 000 000 000 000 000
29 ! = 8 841 761 993 739 700 000 000 000 000 000
30 ! = 265 252 859 812 191 000 000 000 000 000 000
31 ! = 8 222 838 654 177 920 000 000 000 000 000 000
32 ! = 263 130 836 933 694 000 000 000 000 000 000 000
33 ! = 8 683 317 618 811 890 000 000 000 000 000 000 000
34 ! = 295 232 799 039 604 000 000 000 000 000 000 000 000
35 ! = 10 333 147 966 386 100 000 000 000 000 000 000 000 000
36 ! = 371 993 326 789 901 000 000 000 000 000 000 000 000 000
37 ! = 13 763 753 091 226 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000
38 ! = 523 022 617 466 601 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
39 ! = 20 397 882 081 197 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
40 ! = 815 915 283 247 898 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
41 ! = 33 452 526 613 163 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
42 ! = 1 405 006 117 752 880 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
43 ! = 60 415 263 063 373 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
44 ! = 2 658 271 574 788 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
45 ! = 119 622 220 865 480 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
46 ! = 5 502 622 159 812 090 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
47 ! = 258 623 241 511 168 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
48 ! = 12 413 915 592 536 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
49 ! = 608 281 864 034 268 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
50 ! = 30 414 093 201 713 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
51 ! = 1 551 118 753 287 380 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
52 ! = 80 658 175 170 943 900 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
53 ! = 4 274 883 284 060 030 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
54 ! = 230 843 697 339 241 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
55 ! = 12 696 403 353 658 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
56 ! = 710 998 587 804 863 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
57 ! = 40 526 919 504 877 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
58 ! = 2 350 561 331 282 880 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
59 ! = 138 683 118 545 690 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
60 ! = 8 320 987 112 741 390 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
61 ! = 507 580 213 877 225 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
62 ! = 31 469 973 260 387 900 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
63 ! = 1 982 608 315 404 440 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
64 ! = 126 886 932 185 884 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
65 ! = 8 247 650 592 082 470 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
66 ! = 544 344 939 077 443 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
67 ! = 36 471 110 918 188 700 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
68 ! = 2 480 035 542 436 830 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
69 ! = 171 122 452 428 141 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
70 ! = 11 978 571 669 969 900 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
71 ! = 850 478 588 567 862 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
72 ! = 61 234 458 376 886 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
73 ! = 4 470 115 461 512 680 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
74 ! = 330 788 544 151 939 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
75 ! = 24 809 140 811 395 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
76 ! = 1 885 494 701 666 050 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
77 ! = 145 183 092 028 286 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
78 ! = 11 324 281 178 206 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
79 ! = 894 618 213 078 297 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
80 ! = 71 569 457 046 263 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
81 ! = 5 797 126 020 747 370 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
82 ! = 475 364 333 701 284 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
83 ! = 39 455 239 697 206 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
84 ! = 3 314 240 134 565 350 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
85 ! = 281 710 411 438 055 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
86 ! = 24 227 095 383 672 700 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
87 ! = 2 107 757 298 379 530 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
88 ! = 185 482 642 257 398 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
89 ! = 16 507 955 160 908 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
90 ! = 1 485 715 964 481 760 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
91 ! = 135 200 152 767 840 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
92 ! = 12 438 414 054 641 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
93 ! = 1 156 772 507 081 640 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
94 ! = 108 736 615 665 674 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
95 ! = 10 329 978 488 239 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
96 ! = 991 677 934 870 949 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
97 ! = 96 192 759 682 482 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
98 ! = 9 426 890 448 883 240 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
99 ! = 933 262 154 439 441 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
100 ! = 93 326 215 443 944 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
101 ! = 9 425 947 759 838 350 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
102 ! = 961 446 671 503 512 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
103 ! = 99 029 007 164 861 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

[danyL]

bonsoir
je ne connais pas XCas mais j'ai trouvé un lien pour exécuter les programmes en ligne :
http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php
cliquer sur 'programmation' (icone engrenages)
taper le programme dans la fenetre du bas et taper nbZero(10) puis ENTER dans la fenetre du haut

attention aux point-virgule en fin de ligne, s'ils ne sont pas au bon endroit tu vas avoir des erreurs
q:=n/10 -> il faut un ;
ftantque; -> il ne faut pas de ;

2) a)
regarde ce que fait 'compteur'

[chan79]

Salut
Bien-sûr, les égalités de SAGE63 sont fausses à partir d'une certaine valeur de n.
Par exemple 100! se termine seulement par 24 zéros

[marcsa]

Merci de vos réponses mais je ne capte vraiment rien ,on a jamais vu ça en cours, c'est du chinois pour moi; Je vous en supplie rédigez-moi les réponses, ce n'est qu'en voyant la réponse telle quelle que j'aurai des chances de comprendre

[danyL]

une copie d'écran du prog exécuté :
http://img15.hostingpics.net/pics/251274xcasnbZero.jpg

la fonction est censée renvoyer un nombre de zéros
dans le code à la fin de la fonction on a 'retourne compteur' donc c'est la variable compteur qui doit contenir ce nombre de zéros
or dans les lignes précédentes on ne fait qu'initialiser le compteur à 0
il manque donc une ligne pour incrémenter ce compteur à chaque 0 trouvé

[marcsa]

une copie d'écran du prog exécuté :
http://img15.hostingpics.net/pics/251274xcasnbZero.jpg

la fonction est censée renvoyer un nombre de zéros
dans le code à la fin de la fonction on a 'retourne compteur' donc c'est la variable compteur qui doit contenir ce nombre de zéros
or dans les lignes précédentes on ne fait qu'initialiser le compteur à 0
il manque donc une ligne pour incrémenter ce compteur à chaque 0 trouvé

Merci beaucoup ! j'ai maintenant compris la 2a).
Pourriez-vous faire de-même pour la 2b) s'il vous plaît

[danyL]

2) b)
le programme a le meme rôle qu'en 2)a)

à quoi servent les variables c et p ?

que se passe t il si en entrée n vaut 10 ?
si n vaut 100 ?

[marcsa]

je ne sais pas quel est le rôle de c et p

[danyL]

tu peux le deviner

prends n = 10
et regarde ligne par ligne ce que fait le programme

c:=1 -> c = ? p = ?
p:=10^c -> c = ? p = ?
tant que irem (n,p)==0 faire -> que vaut irem(n, p) ?
c:=c+1 -> c= ? p = ?
p:=10^c -> c = ? p = ?
ftantque;

[marcsa]

Je ne vois vraiment pas

[danyL]

après l'exécution de la ligne :
c:=1

combien vaut la variable c ?

[marcsa]

1

[danyL]

ok
maintenant ligne suivante
p:=10^c

apres l'exécution de cette ligne, c vaut combien ? p vaut combien ?

[marcsa]

P=10 et c vaut toujours 1

[danyL]

ok
ligne suivante :
tant que irem (n,p)==0

la boucle sera exécutée tant que l'expression irem (n,p) est égale à 0
que fait la fonction irem () ?
que vaut irem (n,p) ?


----------------------------------------------------------------------------------------------
dans le XCas en ligne :
http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php
en cliquant sur l'icone Doc officielle (en haut à gauche) puis Calcul formel
puis recherche sur irem :

6.7.12 Reste entier de la division euclidienne : irem remain smod mods mod %

irem (ou remain) désigne le reste entier r de la division euclidienne des deux entiers a et b donnés en argument (a=b*q+r avec 0≤ r< b).
Pour les entiers de Gauss, on choisit q pour b*q soit le plus proche possible de a et on peut montrer que l’on peut choisir r tel que |r|2 ≤ |b|2/2.
On tape :
irem(148,5)
On obtient :
3

[danyL]

http://www.ilemaths.net/sujet-exercice- ... 11811.html