Exercice Seconde/Première

[Circachonps]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice.
L’aire de la partie grisée sur la figure est égale à 2Pi.
Quelle est la longueur du segment [FG] ?

Le lien de la figure: http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=841392Capture.png

Merci beaucoup

[paquito]

Si on note x le rayon d'un des petits cercle,
y le rayon de l'autre,
le rayon du grand cercle sera x+y et la condition imposée s'écrit:

pi(x+y)²-pix²-piy²=2pi, ce qui donne x²+y²+2xy-x²-y²=2, soit xy=1 ou y=1/x ce qui donne une infinité de solutions: x+y=2, x=1 et y=1 en est une; x+y=5/2, x=2 et y=1/2 en est une autre.
Il me manque donc des informations.

[Circachonps]

Si on note x le rayon d'un des petits cercle,
y le rayon de l'autre,
le rayon du grand cercle sera x+y et la condition imposée s'écrit:

pi(x+y)²-pix²-piy²=2pi, ce qui donne x²+y²+2xy-x²-y²=2, soit xy=1 ou y=1/x ce qui donne une infinité de solutions: x+y=2, x=1 et y=1 en est une; x+y=5/2, x=2 et y=1/2 en est une autre.
Il me manque donc des informations.

Je ne pense pas, vu que de toute façon, on cherche FG.
Merci pour ce début de raisonnement!

[paquito]

Je ne pense pas, vu que de toute façon, on cherche FG.
Merci pour ce début de raisonnement!

Mais il y a une infinité de possibilité pour FG! Donc un léger problème!
Prend R=2 pour le grand cercle, R1=R2 =1 pour les 2 petits, ça marche et DG=4. Ca fait une bonne réponse parmi plein d'autres.

[paquito]

J'ai une solution à te proposer:
Appelons R le rayon du plus grand des 2 petits cercles; le rayon du grand cercle est donc R+1/R; Choisissons le repère orthonormé dont l'origine est le centre du grand cercle et dont le premier vecteur a la même direction que FG.
Dans ce repère le grand cercle a pour équation: x²+y²=(R+1/R)² et la droite (FG) est l'horizontale d'équation y=R+1/R-2R=1/R-R.
Dans l'équation du grand cercle, remplaçons y par 1/R-R pour avoir l'intersection du cercle avec (FG);
on obtient: x²+(1/R-R)²= (R+1/R)² ce qui donne x²=4 et donc x=-2 ou x=2.
On en conclut que FG=4 dans toutes les configurations. Joli résultat!!

[Circachonps]

Solution très très ingénieuse franchement! Vraiment pas bête, l'idée du repère!
Merci beaucoup !

[chan79]

Salut
Autre approche



et comme , on a:

Connaissant la somme et le produit de r et r', on peut les exprimer en fonction de R en résolvant:




avec
en remplaçant r', on obtient:

puis donc et

[Circachonps]

Bonjour,
Je ne vois pas en fait d'où vient l'équation

X² -RX + 1= 0

Comment l'avez-vous établie?

[paquito]

(x-r)(x-r')=x²-(r+r')x+rr'=x²-Rx+1, donc cette dernière équation a pour solutions r et r'.

[Circachonps]

Ah! D'accord!
Meci beaucoup

[Circachonps]

Par curiosité, le fait d'avoir mis sous forme d'équation pour pouvoir l'exprimer en fonction de R, est-ce que ça a un nom?

[paquito]

Par curiosité, le fait d'avoir mis sous forme d'équation pour pouvoir l'exprimer en fonction de R, est-ce que ça a un nom?

Non, en fait, si on connait la somme S de deux réels r et r' et leur produit P, ils sont les deux solutions de
x²-Sx+P=0, car (x-r)(x-r')= x²-(r+r')x+rr'=x²-Sx+P.
C'était un résultat de cours dans le temps!

[Circachonps]

Ah d'accord! Merci beaucoup en tout cas!
Les programmes ont bien changé...

[chan79]

Bonjour,
Je ne vois pas en fait d'où vient l'équation

X² -RX + 1= 0

Comment l'avez-vous établie?

Si deux nombres ont comme somme S et comme produit P, on les obtient en résolvant
l'équation X²-SX+P=0

[Ben314]

Si, comme paquito, tu note x et y les rayon respectifs du cercle du haut et de celui du bas (par symétrie, on peut supposer x>y) alors la surface hachurée est effectivement S = pi.(x+y)^2 - pi.x^2 - pi.y^2 = 2.pi.x.y

D'un aute coté, si on note O le centre du grand cercle et M le point de tangence des deux petits cercles alors OMF est rectangle en M avec :
hypothénuse=OF=rayon_du_grand_cercle=x+y,
MF=1/2.FG
OM = OP - PM = (x+y) - 2y = x - y (où P est le point d'intersection du bas du grand cercle et de la droite (OM) ).

Pythagore donne alors (x+y)^2=(1/2.FG)^2+(x-y)^2, c'est à dire FG=4.racine(xy)=4.racine[S/(2.pi)]

[Circachonps]

merci beaucoup à vous trois, pour un problème qui n'était pourtant pas si dur que ça ;(