Exercice 36 ROC

[Anonyme]

Voilà l'exo :
MQ |sinx-siny| <(ou égal) |x-y|

Comment vous vous y prenez??
J'ai une petite idée : on montre que la fonction f(h)=(sink-sinh)/(k-h) atteint son maximum pour quand h->k puis on se ramène à un taux d'accroissement : pr tout h et pr tout k, f(h)<(ou égal) lim(h->0) (sink-sinh)/(k-h)
or cette dernière expression vaut cosk qui est compris entre -1 et 1:
-1En prenant la valeur absolue de l'inégalité on peut conclure!

Mais coment montrer que la fonction f(h)=(sink-sinh)/(k-h) atteint son maximum pour quand h->k??? en faisdant un schéma on le voit bien pourtant! J'ai essayé d'étudier la fonction mais c trop compliqué, vous pouvez m'aider??

[krou]

Voilà l'exo :

Mais coment montrer que la fonction f(h)=(sink-sinh)/(k-h) atteint son maximum pour quand h->k???

j'ai bien une méthode qui me vient à l'esprit mais c'est carrément pas niveau lycée...je te la donne à titre indicatif

déjà se débarasser du point (0,0), dans ce cas sin0 - sin0 f3(k,h)
f2(k,h) par rapport à h => f4(k,h)
f1(k,h) par rapport à h ou f2(k,h) par rapport à k => f5(k,h)

calcules S = f5² - f3*f4 aux points qui verifient le système du haut (remplaces directement par les valeurs sinon tu te compliques royalement la vie )

tu peux obtenir plusieurs solutions
S > 0, dans ce cas le point considéré n'est ni un minimum, ni un maximum
S 0 on a un minimum au point considéré
S = 0, j'espère que tu ne tomberas pas sur ce cas la, ca signifie qui faut calculer dériver encore par rapport a k et h et c'est galèèèère

bref tout ca pour te dire qu'il y a certainement une solution plus simple à ton problème (mais que je ne vois pas )

[Anonyme]

Un autre méthode pour monter que |sinx-siny| <= |x-y|

|sin x - sin y|=|2sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)|=2|sin((x-y)/2)||cos((x+y)/2)|
( d'après les formules de trigonométrie )

On a donc |sin x - sin y| <= 2|sin((x-y)/2)|*1 ( on majore le cos par 1 )

De plus pour tout X, |sin X|<=|X|

D'où |sin((x-y)/2)|<= |(x-y)/2|

On a donc |sin x - sin y| <= 2|sin((x-y)/2)| <= 2*|(x-y)/2|

Ainsi |sin x - sin y| <= |x-y|

Voilà.

[PaTaPoOF]

Bonsoir,
Une méthode beaucoup plus rapide :
Pour tout réel t,
-1 cos t 1
Pour tout x y, d'après le théorème de l'inégalité de la moyenne :
| cost dt| |y-x|
|sin y - sin x| |y -x|
Et pour x y, c'est la même inégalité à cause des valeurs absolues.

[danyahmed]

je rejoint l'dee de patapoof ce genre d'exercice est tres classique et c'est la methode la plus simple!!
tu peux faire l'exercice suivant pour consolider cette idee:
1/montrer que pour tt x de IR : sin(x)<= x
2/ en deduire: l'inegalite demande

c'est la meme idee qu'as utilise patapoof!!! :)