Exercice raisonnement par récurrence

[wolf07]

bonjour,
j'ai un exercice à faire sur le raisonnement par récurrence, l' énoncé est celui-ci:"10)exposant n)-1" est un multiple de 3." j'en ai donc conclut qu'il fallait partir de 10(exposant n)-1=3n mis je n'arrive pas à faire le calcul pour arriver à 10(exposant n+1)=3n. je cherche depuis longtemps mais j'ai l'impression que plus je cherche moins j'avance! :mur:
merci à ceux qui pourrait me donner une piste!

[Titahn]

Ya juste une maladresse : tu dois écrire 10^n -1 = 3k, pas 3n (tu peux d'ailleurs facilement vérifier que c'est faux pour 3n). k étant un entier.

Ça devrait être plus simple du coup !

[wolf07]

ah oui effectivement! merci!

[wolf07]

non ben j'y arrive pas non plus --"

[Titahn]

Je suppose que t'as réussi à faire ton initialisation.

Ensuite tu supposes que (10^n) - 1 = 3k

Il se passe quoi si tu multiplies à droite et à gauche par, disons 10 ? ;)

[wolf07]

en faisant 10*10^n

[Titahn]

Wep, et en multipliant donc tout par 10, tu obtiens quoi ?

[wolf07]

10^(n+1)-10=30k

[Titahn]

Wep. A partir de là il est assez simple de tomber sur le bon résultat. Débrouille toi pour isoler ta propriété au range n+1, et ça devrait être trivial de prouver qu'elle est un multiple de 3 =)

[wolf07]

juste pour être bien sur faut arriver à 10^(n+1)-1=3k+n+1 ? ou 3k(n+1)?

[Titahn]

Ni l'un ni l'autre, il faut arriver à 10^(n+1) - 1 = 3*(N'importe quoi, tant que c'est un nombre entier ;))

[wolf07]

ok ben alors j'avais absolument rien compris! merci!

[Titahn]

Tu trouves quoi du coup ? =)

Edit : le but est de montrer que 10^(n+1) - 1 est divisible par 3, et un nombre divisible par 3 s'écrit de la forme 3k, avec k un entier. Ici comme t'as déjà utilisé k, tant que tu montres que 10^(n+1) - 1 = 3k', c'est parfait !