Exercice probablilités

[Tir McDohl]

Bonjour,

Je suis sur un exo (dont je ne pourrai pas avoir de correction) pour le lequel j'ai trouvé une réponse bizarrement... simple, au point que je ne pense pas avoir fait les choses comme il faut et que j'ai très certainement faux.

Enoncé (un peu long):

"Alice et Bob habitent ensembles. Ils possèdent un chat. Leur appartement possède une fenêtre donnant sur les toits. Alice est la première à quitter l'appartement le matin. Elle est également la première à rentrer le soir. Bob et le chat adoptent des comportements probabilistes. Ainsi:

-Chaque matin Bob quitte l'appartement en laissant la fenêtre ouverte avec probabilité "p".

-Lorsque la fenêtre est ouverte, la probabilité que le chat soit dans l'appart pour le retour d'Alice est "q".

-Lorsque la fenêtre est fermée, le chat est toujours dans l'appartement pour le retour d'Alice.

-Lorsque le chat est dans l'appartement pour le retour d'Alice, il vient tjrs immédiatement la saluer.

Alice rentre et ouvre la porte. Le chat est là. Quelle est la probabilité que la fenêtre soit ouverte?"


Ben moi je vois juste qu'il y a deux cas où le chat peut-être là: 1-p cad la fenêtre fermée, ou p et q (fenêtre ouverte et chat là), qu'on peut écrire p*q. Vu que les deux probas s'ajoutent ("ou" -> "+") on a juste à enlever celle de la fenêtre fermée et on garde p*q qui modélise donc la proba que la chat soit là avec la fenêtre ouverte.

J'imagine bien que c'est pas ça mais bon.

Merci d'avance de votre aide.

[Tir McDohl]

Personne pour m'aider : [ ?

J'ai repensé un peu au truc, je suis encore plus convaincu d'avoir faux. J'ai en fait bien modélisé le truc sous tous les angles:

(1-p) + p représente toutes les possibilités, cad que c'est égal à 1.
(1-p) + p*q est une partie de ces possibilités, toutes celles où le chat est là: au final tous les cas où la fenêtre est fermée, et une partie des cas où elle est ouverte. Selon ma logique, (1-p) + p = (1-p) + (p*q + ) = 1.

Donc au final le p*q tout seul que j'avais trouvé, c'est juste les chances de "chat et fenêtre ouverte" par rapport à toutes les possibilités. Hors on sait que le chat est là, donc on doit exclure du total cad p -p*q, et calculer les probabilités en ayant pour référence totale uniquement cette partie (je sais pas comment le dire, en gros que " cas où chat est là = 1").
A partir de là, je ne comprend pas comment trouver une formule qui me permet de faire ça. En divisant? en appliquant un théorème T_T?

[Pseuda]

Ce qui tu dis n'est pas faux, mais un peu embrouillé.

Je te conseille de faire un arbre de probabilité pour y voir plus clair.
1er noeud : la fenêtre est ouverte ou fermée
2ème noeud : le chat est dans l'appartement ou non.
Tu peux attribuer une lettre aux événements.

A partir de là, tu peux calculer la probabilité demandée, à l'aide des probabilités conditionnelles. As-tu vu cette notion ? Si oui, tu peux utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de l'événement "le chat est dans l'appartement".
Si non, tu peux calculer la probabilité de l'événement "le chat est dans l'appartement", à l'aide des autres probabilités.

Il suffit ensuite de calculer la probabilité demandée, qui est une probabilité conditionnelle.

[Tir McDohl]

Désolé de ne pas avoir donné de nouvelles je n'avais plus internet jusqu'à il y a deux jours.
Donc je vous remercie de votre réponse avec un peu de retard.

J'ai aussi essayé de faire ce que vous aviez conseillé.
J'ai modélisé comme ça:

A= "fenêtre ouverte" --> P(A) = p

B="chat présent" --> Pa(B) = q
--> P(B) = 1 (si la fenêtre est fermé le chat est toujours là).

La question c'est que si le chat est là, quelle est la prob de la fenêtre ouverte, soit Pb(A).
On a la formule Pb(A) = .
Hors on connait ni le haut ni le bas vu qu'on a inversé les conditions.
Pour le haut j'ai trouvé:
= Pb(A) * P(B) = Pa(B) * P(A) = p * q.
Mais pour P(B) je vois pas. J'aurais bien une idée après avoir dessiné l'arbre mais bon: la prob de B est soit p*q soit (1-p), donc p*q + (1-p)?

Ce qui donnerait dont je trouve pas vraiment de simplification. C'est ça?

[Pseuda]

Désolé de ne pas avoir donné de nouvelles je n'avais plus internet jusqu'à il y a deux jours.
Donc je vous remercie de votre réponse avec un peu de retard.

J'ai aussi essayé de faire ce que vous aviez conseillé.
J'ai modélisé comme ça:

A= "fenêtre ouverte" --> P(A) = p

B="chat présent" --> Pa(B) = q
--> P(B) = 1 (si la fenêtre est fermé le chat est toujours là).

La question c'est que si le chat est là, quelle est la prob de la fenêtre ouverte, soit Pb(A).
On a la formule Pb(A) = .
Hors on connait ni le haut ni le bas vu qu'on a inversé les conditions.
Pour le haut j'ai trouvé:
= Pb(A) * P(B) = Pa(B) * P(A) = p * q.
Mais pour P(B) je vois pas. J'aurais bien une idée après avoir dessiné l'arbre mais bon: la prob de B est soit p*q soit (1-p), donc p*q + (1-p)?

Ce qui donnerait dont je trouve pas vraiment de simplification. C'est ça?

Bonsoir,

C'est bien cela : P(B)=p*q + (1-p). En appliquant la formule des probabilités totales, on a : ) (car A et forment un système complet d'évènements).

La formule finale pour Pb(A) est juste.

[Tir McDohl]

Ah ok. Je connaissais pas la formule donc j'ai trouvé le résultat intuitivement vu que "ou" = "+" du coup j'ai additionné les possibilités pour arriver à B.

Merci de votre aide.

[Pseuda]

Les probabilités s'additionnent car les événements sont incompatibles. Cette formule est pourtant au programme de Terminale (probabilités conditionnelles).