Exercice probabilités terminale

[kmille77]

Bonjour, j'ai un exercice à rendre en devoir maison pour la rentrée.
Voici l'énoncé :
Lors d'une tombola, on place dans une enveloppe n billets (n >ou= a 4) dont quatre seulement sont GAGNANTS. On tire successivement deux billets de l'enveloppe. On note Gk l'événement « le billet est GAGNANT au k-ième tirage. ». On note X la variable aléatoire égale au nombre de billets gagnants obtenus à l'issue de deux tirages.
1)Premier jeu : On ne remet pas le premier billet dans l'enveloppe.
a) Exprimer P(G1), Pg1(G2), Pg1 (barre) (G2), en fonction de n.
b)Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement un billet GAGNANT l'issue des deux tirages
2) Second jeu : On remet le premier billet dans l'enveloppe et on tire ensuite un second billet.
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
b) Calculer la probabilité d'obtenir exactement un billet GAGNANT. On pourra s'aider d'un arbre.
c) Calculer la probabilité d'obtenir au moins un billet GAGNANT
3) On veut déterminer le jeu le plus avantageux pour obtenir exactement un billet gagnant.
On définit sur l'intervalle [4;+infini[ les fonctions f et g par : f(x)=8(x-4)/x(x-1) et g(x)=8(x-4)/x².
a) Etudier le signe de f(x)-g(x)
b) En déduire le jeu le plus avantageux pour obtenir exactement un billet gagnant. Expliquez sans calcul ce résultat.
4) a) Montrer que pour tout réel x>4 : f(x)-g(x) < 8/x²
b) Déterminer une valeur de x>4 a partir de laquelle on a f(x)-g(x) < 0,01
c) En déduire le nombre de billets que l'on doit placer dans l'enveloppe pour que les jeux puissent être considérés comme équivalents pour obtenir un billet gagnant.

Mes réponses : 1)a) P(G1) = 4/n
P G1(G2)= 3/n-1
P G1barre(G2) = 4/n-1
b) L'arbre je me suis débrouillée.
probabilité d'obtenir un billet gagnant, je pensais faire : PG1(G2)*PG1barre(G2)
ce qui nous donne 3/n-1 * 4/n-1 ce qui donne 12/n-1 si je ne me trompes pas ?

2)a) Je ne comprends pas vraiment comment faut il répondre. On a X={0;1;2} ? C'est quoi les paramètres ?
b) Je pensais faire : 4/n * 1-(3n-1) + 1-(4/n-1) * 4/n-1) ? Le problème c'est qu'il y a remise...mon calcul ne doit pas être bon
c) 4/n * 3/n-1 + 4/n * 1-(3n-1) + 1-(4/n-1) * 4/n-1) ? Même problème
Je ne parviens pas à calculer cela car je n'arrive pas à mettre au même dénominateur...
3)a. Pour étudier le signe, il faut dériver non ?
b) Je ne sais pas comment peut-on déduire quel est le jeu le plus avantageux...
4) Pour ces questions là, je suis totalement perdue...

Merci d'avance pour votre aide.

[eriadrim]

Salut,

Pour la 1)a) je suis d'accord avec toi
Pour la 1)b) je comprend pas ton raisonnement :

Pour obtenir un seul billet gagnant :
- soit tu as eu un billet gagnant au premier tirage et pas au second
- soit tu n'as pas eu un billet gagnant au premier tirage mais tu en a eu un au second

Donc dans ce cas avec l'aide de ton arbre tu devrais pouvoir obtenir le résultat (tu dois trouver )

Pour la 2)a) :

Je pense ici qu'il faut dire mathématiquement que au bout des deux tirages, tu as obtenu soit 0 billets, soit 1 billet, soit 2 billets gagnants.

Pour la 2)b) :

Ici tu peux essayer d'adapter ton arbre de la question 1 pour trouver la réponse : (tu dois trouver )

Pour la 2)c) :

L'évènement contraire est beaucoup plus simple a calculer.

Pour la 3)a) :

Non pour une fois dérivé n'est vraiment pas la bonne solution tu peux t'en sortir par des inégalités très simples ( essaie de montrer que f(x) > g(x) )

Pour la 3)b) :

Avec la question 2)b) et la question 1)b) tu devrais trouver le résultat

Pour la 4)a) :

Tu peux étudier (dérivée -> variation -> signe)

Pour la 4)b) :

Ceci revient a trouver un x tel que


Si tu as d'autres questions n'hésite pas

[kmille77]

Bonjour, merci pour votre aide.
Pour la 2c) est ce que l'événement contraire c'est : 1- (8(n-4)) / n²
= n² - 8n - 32 / n² ? est ce qu'on peut encore simplifier cela ?

Pour la 3a) Je ne sais pas comment faire pour démontrer que f(x) > g(x)

b) Le jeu le plus avantageux est le premier car on remarque que f(x) > g(x). Cela ne suffit pas comme justification ?

Pour la 4a) je n'arrive pas à calculer f(x)-g(x)-8/x² (problème de dénominateur...)

Pour la 4b) 8/x² < 0,01
8 < 0,01x²

8/0,01 < x²

racine de 8/0,01 < x

x=28,28 environ ?

4c) On doit donc placer 29 billets dans l'enveloppe pour que les deux jeux soient considérés équivalents pour obtenir un billet gagnant.

Merci

[eriadrim]

Pour la 2)c), l'événement contraire est "Obtenir aucun billet gagnant" qui est

Du coup ce que tu cherche est

Pour la 3)a) :

Tu peux partir de ce qui donne le résultat presque immédiatement.

Pour la 3)b) C'est l'idée mais je pense qu'il faut préciser pourquoi f(x) > g(x) rend le premier jeu plus avantageux

Pour la 4)a) :

Part du résultat :
tu veux
en simplifiant un petit peu :



en factorisant par x-4 et en mettant au même dénominateur :



tu obtient donc :

ce qui est toujours vrai, donc en remontant tu obtient le résultat.

Normalement la méthode de dérivation est plus longue mais si tu n'y arrive pas (les calculs sont un peu lourd) cette méthode convient parfaitement.

Sinon la suite me parait correct