Exercice de probabilité

[AMARI]

Bonjour à Tous,

J'ai un exercice sur les probabilités qui est le suivant :
Dix professeurs placent vingt sujets de math dans vingt enveloppes (chacun propose deux sujets).
Deux candidats ont retirés successivement chacun deux sujets en un seul retrait.
A1 : le candidat a retiré deux sujets du même professeur.
A2 : le candidat a retiré deux sujets du même professeur.
1/ Montrer que la probabilité p(A1)= 1/10
a- Déduire PA1(A2) (P de A2 sachant A1)
b- Démontrer que la probabilité que chaque candidat retire deux sujet du même professeur est égale à 1/323.
2/ Quelle est la probabilité de PA1Barre(A2) (P de A2 par rapport à A1 Barre).
a- Calculer P(A2) et démontrer que P(A1 U A2)= 33/323
Est-il possible de représenter cette situation par un arbre ?

Merci Beaucoup à Tous.

[catamat]

Bonjour

Un arbre pondéré peut être utile pour illustrer et ne pas se perdre, mais pas indispensable.

Qqs remarques:
C'est je pense
A1 : le premier candidat a retiré deux sujets du même professeur.
A2 : le second candidat a retiré deux sujets du même professeur.

Ensuite le résultat de la première question est faux, je suppose que vous avez mal recopié la question. C'est en fait 1/19

[AMARI]

Bonjour catamat,

Dans le sujet, on adonné A1= 1/10 et non P(A1).

Merci catamat pour la remarque

[catamat]

1/ Montrer que la probabilité p(A1)= 1/10

D'après ce que vous écriviez c'est bien une proba !

Si l'on utilise comme issues les couples (x,y) de sujets distincts choisi par le premier
Il y a 20*19 choix possibles, ils sont bien sûrs équiprobables.
Pour les choix favorables il y en a 20*1 , car pour le sujet y on doit prendre le second sujet du correcteur qui a écrit le sujet x et il n'y en a plus qu'un.
Donc p(A1)=1/19
On aurait pu aussi considérer qu'on a choisi un sujet qq et se demander quelle est la proba que mon deuxième choix soit écrit par le même prof. Il est clair que c'est 1/19.

[AMARI]

Bonjour catamat,

C'est que le candidat prend au même temps deux sujets en une seule fois, donc on parlera du dixième des sujets.
Je pense que ce n'est pas un arrangement, c'est une combinaison.

Et Toujours Merci pour vos réponses

[catamat]

Si on utilise les combinaisons cela ne change rien du tout

Il y a "2 parmi 20" issues possibles soit 190
et pour les issues favorables 10*"2 parmi 2" soit 10
donc p(A1)=1/19

Mais dans le texte on parle de tirages successifs donc il m'a semblé plus logique d'utiliser les arrangements même si dans ce cas cela revient au même.

[AMARI]

Bonjour catamat,

Et un Grand Merci de ma part pour votre orientation, en m’excusant pour ce retard de réponse.

[lyceen95]

Ces mots arrangements et combinaisons déforment les élèves, au lieu de leur apporter des outils.
Prenons un enfant de 13 ans, qui n'a jamais entendu parler de probabilités à l'école. Mais il comprend ce mot, il a appris ce mot en cours de français.
On lui expose l'exercice.
le candidat 1 prend 2 enveloppes. En même temps. En même temps, ça veut dire quoi ? S'il pose la main gauche sur une enveloppe, puis un millième de seconde plus tard, il pose la main droite sur une autre enveloppe, est-ce que c'est 'en même temps' ? Oui, le millième de seconde d'écart, on s'en moque.
Si je prends les 2 enveloppes , j'en ouvre une, et 10 minutes plus tard, j'ouvre l'autre, est-ce que c'est grave ? Non.
Et si il prend une enveloppe, il l'ouvre, il regarde le nom du prof, et 10 secondes plus tard, il prend une autre enveloppe, est-ce que c'est en même temps ? OUI.

En fait , en même temps, c'est pour dire qu'on n'est pas dans cette autre configuration :
On prend une enveloppe. On regarde son contenu. On remet l'enveloppe sur la table. On mélange les enveloppes. Et on retire une enveloppe, avec le risque de retomber sur la même.

Posons l'exercice à notre enfant de 13 ans.
Tu prends une enveloppe. Tu regardes le nom du prof. C'est M.Martin.
Il reste combien d'enveloppes ? Réponse : 19. ( et pas 20, parce que 'tirage en même temps')
Parmi les 19 enveloppes restantes, combien portent le nom de M.Martin ? Réponse : 1.
Si je tire une enveloppe au hasard parmi les 19 enveloppes restantes, quelle est la probabilité de tomber sur cette enveloppe particulière ? Réponse 1/19.

1/19, et pas 1/10 comme dit dans l'énoncé.
Pour le fun, il faudrait changer quoi dans l'énoncé, pour avoir cette réponse de 1/10 ?

A 13 ans, les enfants savent faire cet exercice.
Puis ils suivent des cours de probabilité. Ils apprennent ces mots arrangements et combinaisons. Et ils ne savent plus faire l'exercice.

Et le 1/323 qui arrive plus loin.... 323, quel drôle de nombre ! Est-ce que 323 est un nombre premier ? Quels sont les diviseurs de 323 ?

[AMARI]

Bonjour lyceen95,

Un Grand Merci de ma part pour toutes ces explications.