Exercice 1)
Dans un lycée de 1000 élèves, 350 élèves se sont fait vacciner contre la grippe au début de l’hiver. Une épidémie de grippe a affecté la population du lycée au cours de l’hiver. 10 % des élèves ont contracté la maladie et 2 % des élèves vaccinés ont eu la grippe.
1°)Recopier et compléter le tableau suivant:
----------------------------------------Nbre d’élèves vaccinés---------Nbre d’élèves non vaccinés-------Total
Nbred’élèves ayant eu la grippe----'7'----------------------------------'93'---------------------------------'100'
Nbred’élèves n’ayant pas eu la grippe'343'-------------------------------'557'----------------------------'900'
Total'----------------------------------------350------------------------------650------------------------------1000
2°)On choisit au hasard un élève du lycée ; tous les élèves ont la même probabilité d’être choisis. On note A et B les événements suivants
A/ et B/ les événements contraire)A : « L’élève a été vacciné » B : « L’élève a eu la grippe »
Définir par une phrase les événements suivants : A/ ; A ∩ B ; A / ∩ B ; A ∩ B/ et Calculer les probabilités de ces événements
1) On note A/ l’événement : << L’élève n’a pas été vacciné >>
2) On note A ∩ B l’événement :<< L’élève à été vacciné et a eu la grippe >>
3) On note A/ ∩ B l’événement : <<L’élève n’a pas été vacciné et a eu la grippe >>
4) On note A∩B/ l’événement :<< L’élève à été vacciné et n’a pas eu la grippe >>
P(A/)= 1- P(A) = 1 – 350 / 1000 =13/20=0,65
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)= 0,35 x 0,1 = 0,035
P (A/ ∩ B) = P(Ā) x P(B) =0,65 x 0,1 =0,065
P(A∩B/) = P(A) x P(B/) = 0,35 x 0,9= 0,315
(P(B/) = 900/100=0,9)
3°) Calculer les probabilités conditionnelles suivantes : pA(B) et pB(A)
4°) On choisit un élève qui a eu la grippe. Quelle est la probabilité que cet élève n’ ait pas été vacciné ? (on arrondira le résultat au centième)
3) PA(B)=P(A) ∩ P(B) / P(A) = 0,035 / 0,35= 0,1
PB(A)=P(A) x PA(B) /P(B) = 0,035/0,1=0,35
4)4°) PB(A/)=P(A/) ∩ P(B) / P(B) =0,65 x 0,1 / 0,1 = 0,65
Exercice 2:
Un grossiste spécialisé dans le jardinage vend des sachets de graines en grande quantité. Chaque sachet peut présenter deux défauts :
soit contenir une masse insuffisante de graines : (défaut a)
soit contenir des traces de pesticides : (défaut b)
On prélève au hasard un sachet dans un stock important.
On appelle A et B les événements :
A : « le sachet présente le défaut a » et B : « le sachet présente le défaut b »
Une étude statistique préalable a permis de montrer que p(A) = 0,015 et p(B) = 0,035 On suppose ces deux événements indépendants.
On admet que p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B/)
1°) Montrer que les événements A et B/ sont également indépendants
Les deux événements sont indépendants si : PA (B/) = P(B/).
P(B/) =1 – P(B)=1-0,035 =0,965
PA(B/) =P (B/ ∩ A) =0,965 x 0,015/0,015=0,965
2°) Calculer la probabilité que :
a) Le sachet comporte les deux défauts
b) Le sachet comporte au moins un défaut
c) Le sachet ne comporte aucun défaut
3°) On choisit au hasard un sachet parmi ceux qui présentent le défaut a. Quelle est la probabilité qu’il présente également le défaut b ?
2°)
a) Le sachet comporte les deux défauts :
p (A∩B) =p(A) x p(B)= 0,015 x 0,035=0,000525
b) Le sachet comporte au moins un défaut :
p(A ∪ B) = p(A)+p(B) – p(A∩B)
=0,015 + 0,035 – 0,000525=0,049475
c)Le sachet ne comporte aucun défaut :
p (A/ ∩ B/)= P(A/) x P(B/) = 0,950525
P(A/) = 1 – P(A) =1- 0,015 = 0,985 ; P(B/) =1-P(B)=1-0,035=0,965
3°) PA(B)=P(B) ∩ P(A) / P(A)=0,035