Exercice probabilité loi binomiale + Espérance

[zoroy-jr]

Après avoir abordé le chapitre sur l'espérance et la loi binomial, notre enseignant nous a donné un exercice de maths sur celui ci que je n'arrive pas à terminer.

Dans une classe de Terminal stav, il y a 26 éléves. Il y a 18 garçons et 8 filles.
On choisit au hasard et simultanement 4 éléves parmis les 26.
On appelle X, la variable aléatoire qui dénombre les filles parmis les 4 élèves choisis.

1) Justifier qu'il y a 14 950 choix possible
réponse: On choisit simultanement, il n'y a ni ordre , ni répétition donc c'est une combinaison a 4 parmi 26= 14 950

2) Donner les valeur possible de X. :mur:
( C'est a partir de ce moment on je bloque)

3) Déterminer, en calculant les probabilités de chacune des valeurs possibles, la loi de probabilité de X. On résumra dans un tableau

4) Calculer l'espérance ( Faisable si j'ai les deux questions au dessus) :stupid_in

Merci de vos éventuelle réponse, Amicalement Zo' .

[Iroh]

2) Donner les valeur possible de X. :mur:
( C'est a partir de ce moment on je bloque)

Salut, X ne peut prendre que 4 valeurs possibles, donc à ce niveau là ça va :p

P[X=0] = la probabilité qu'il n'y ait aucune fille dans les 4 choisis. Ça veut dire que 4 garçons, ça sent la simple combinaison :p

P[X=1] = la probabilité qu'il y ait une seule fille et 3 garçons. On sépare en deux ensemble: F1: tous les 1-uples de filles possibles, et G3 = tous les 3-uples de garçons( en précisant que (g1,g2,g3), = (g1,g3,g1), etc. , comme tu l'as dit: pas d'ordre)
On note fi la fille i et gi le garçon i.

F1 = {f1,f2,...}; et G3={(g1,g2,g3),(g1,g2,g4),...}, #F1 est facile, #G3 c'est encore une combinaison. L'ensemble (produit cartésien), donc , d'où

Ça semble correct ?

Après tu comprends vite le calcul et tu sais déterminer P[X=k].

[zoroy-jr]

Salut, X ne peut prendre que 4 valeurs possibles, donc à ce niveau là ça va :p

P[X=0] = la probabilité qu'il n'y ait aucune fille dans les 4 choisis. Ça veut dire que 4 garçons, ça sent la simple combinaison :p

P[X=1] = la probabilité qu'il y ait une seule fille et 3 garçons. On sépare en deux ensemble: F1: tous les 1-uples de filles possibles, et G3 = tous les 3-uples de garçons( en précisant que (g1,g2,g3), = (g1,g3,g1), etc. , comme tu l'as dit: pas d'ordre)
On note fi la fille i et gi le garçon i.

F1 = {f1,f2,...}; et G3={(g1,g2,g3),(g1,g2,g4),...}, #F1 est facile, #G3 c'est encore une combinaison. L'ensemble (produit cartésien), donc , d'où

Ça semble correct ?

Après tu comprends vite le calcul et tu sais déterminer P[X=k].

A oui, par contre les g on n'a jamais vue ça en cours x') donc j'ai du mal a saisir ta formule :/

[Iroh]

A oui, par contre les g on n'a jamais vue ça en cours x') donc j'ai du mal a saisir ta formule :/

Désolé, j'ai du mal m'exprimer. Les g c'est juste une notation pour distinguer les garçons: on les classe dans un certain ordre, et on note le premier g1, le deuxième g2, etc. J'ai aussi noté G1: l'ensemble des toutes mes combinaisons de 1 garçons parmi 18, donc tous les garçons: G1={g1,g2,g3,...,g18}. G2 c'est l'ensemble de toutes les combinaisons de 2 garçons parmis 18 (donc en tenant compte que (g1,g2) = (g2,g1)). Le nombre de garçon dans G2 c'est . Tu vois ?

[zoroy-jr]

Désolé, j'ai du mal m'exprimer. Les g c'est juste une notation pour distinguer les garçons: on les classe dans un certain ordre, et on note le premier g1, le deuxième g2, etc. J'ai aussi noté G1: l'ensemble des toutes mes combinaisons de 1 garçons parmi 18, donc tous les garçons: G1={g1,g2,g3,...,g18}. G2 c'est l'ensemble de toutes les combinaisons de 2 garçons parmis 18 (donc en tenant compte que (g1,g2) = (g2,g1)). Le nombre de garçon dans G2 c'est . Tu vois ?

Alors revenons à la question deux, il y aurai 5 choix possible
car X= 0 X=1....... et X=4
??

[zoroy-jr]

Pour la calcul de p (X=0), je trouve
(soit 0 fille )
P(X=0) = 4 parmi 0 x ( 0/24)^0 x (4/24)^4

Je ne comprend pas grand chose :/

[Iroh]

Alors revenons à la question deux, il y aurai 5 choix possible
car X= 0 X=1....... et X=4
??

Oui, je fais une petite parenthèse: n'oublie pas que "X=0" c'est un abus une notation. Ici, X compte le nombre de fille dans les 4 élèves choisis. Donc si tu as: (f1,g1,g2,g3), càd une fille et 3 garçons, tu constate d'abord que (f1,g1,g2,g3) appartient bien à , car c'est l'ensemble de tous les résultats possibles, donc ici c'est l'ensemble des toutes les combinaisons de 4 élèves parmi 26. Et tu as que
X((f1,g1,g2,g3)) = 1.
Tu as donc que "X=0" c'est un fait un ensemble, ça vaut: , càd l'ensemble des 4-uplets de qui ne contiennent pas de filles.

Calculer reviens à calculer le nombre d'élements de l'ensemble "X=0", divisé par le nombre d'élements de l'ens. (vu qu'ils sont finis tous les deux), et ce dernier tu l'as déjà.

On commence par P[X=0]. Il te suffit de trouver le nombre d'éléments dans l'ensemble "X=0", càd le nombre de 4-uplets qui sont dans omega mais qui ne contiennent pas de filles, ça revient à calculer le nombre de combinaisons de 4 garçons parmi 18. Ça te paraît correct?

Edit: J'avais fait une erreur sur la définition de l'ensemble "X=0" qui vaut bien:

[zoroy-jr]

Oui, je fais une petite parenthèse: n'oublie pas que "X=0" c'est un abus une notation. Ici, X compte le nombre de fille dans les 4 élèves choisis. Donc si tu as: (f1,g1,g2,g3), càd une fille et 3 garçons, tu constate d'abord que (f1,g1,g2,g3) appartient bien à , car c'est l'ensemble de tous les résultats possibles, donc ici c'est l'ensemble des toutes les combinaisons de 4 élèves parmi 26. Et tu as que
X((f1,g1,g2,g3)) = 1.
Tu as donc que "X=0" c'est un fait un ensemble, ça vaut: , càd l'ensemble des 4-uplets de qui ne contiennent pas de filles.

Calculer reviens à calculer le nombre d'élements de l'ensemble "X=0", divisé par le nombre d'élements de l'ens. (vu qu'ils sont finis tous les deux), et ce dernier tu l'as déjà.

On commence par P[X=0]. Il te suffit de trouver le nombre d'éléments dans l'ensemble "X=0", càd le nombre de 4-uplets qui sont dans omega mais qui ne contiennent pas de filles, ça revient à calculer le nombre de combinaisons de 4 garçons parmi 18. Ça te paraît correct?

Edit: J'avais fait une erreur sur la définition de l'ensemble "X=0" qui vaut bien:

j'arrive pas numériser les phrases en chiffre, certain mots comme "4-uplets" que je ne comprend pas tu veux pas me faire un ou deux exemple ? que je vois a peu pres comment ça marche
Apres le reste je dois bien arriver à la faire

[Iroh]

j'arrive pas numériser les phrases en chiffre, certain mots comme "4-uplets" que je ne comprend pas tu veux pas me faire un ou deux exemple ? que je vois a peu pres comment ça marche
Apres le reste je dois bien arriver à la faire

Oui. Pour faire plus simple alors on va supposer qu'il y a 5 élèves: 2 filles et 3 garçons. L'expérience c'est d'en prendre 2 parmi ces 5. Donc l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience c'est:
T'as bien que

Maintenant on va déterminer l'ensemble "X=0", c'est-à-dire l'ensemble:

On constate que c'est l'ensemble des combinaisons de 2 garçons parmis 3.



(Ici c'est un ensemble de 2-uplets)

[Iroh]

Pour calculer maintenant. "X=1" vaut . C'est l'ensembles des 2-uplets qui appartiennent à et qui ne contiennent qu'une fille. Vu qu'ici on a un petit ensemble , on voit directement que
, on peut compter le nombre d'éléments. Mais dans ton exemple, on ne pourra plus faire ça, cherchons comment calculer le nombre d'éléments: On peut décomposer l'ensemble {X=1} en un produit cartésien de deux ensemble: {X=1} = F1 x G1 (produit cartésien), où F1 = {f1,f2} et G1={g1,g2,g3}. On a donc que le nombre d'éléments dans {X=1} vaut le nombre l'élem. dans F1 fois le nombre d'élem. dans G1. Ce qu'on peut généraliser dans ton cas qui est un peu plus complexe (car il y a plus d'élèves, et on prend 4 élèves parmis tous, et non 2 ; mais le raisonnement est identique)
, .