Exercice primitive Terminale S! Besoin d'aide.

[jy_ha12]

bonjour , j'ai un exo de mathématique a rendre prochainement sur les primitives ( je suis en T°S) mais ce n'est vrmt pas un niveau de terminal S voici l'énonce jai réussi les premières questions mais la fin je n'y arrive pas du tout si vous pouviez m"éclairer un petit peu . merci beaucoup:

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=1/1+x^2 . F désigne la primitive de f qui vérifie F(0)=0 .

1. démontrer que F est une fonction impaire ( ca j'ai réussi )
2.on pose pour tout x appartenant a] -pi/2 ; pi / 2 [ h(x)= F(tan(x))
a) justifierai h est dérivable sur l'intervalle ] -pi/2 ; pi / 2 [ et calculer sa dérivée ( j'ai réussi jai trouvé h'(x)=1 )
b) en conclure que l'on a F(tan(x)) = x ( jai réussi jai fait la primitive de h(x) )
c) en déduire la valeur exacte de F(1/2) et de F(1) ( jai trouvé F(1/2)= tan -1 de 1/2 et F(1) = pi/4 est ce cela ?
3. on pose G(x) = F(x) + F(1/x)
a) calculer sa dérivé ( je trouve aussi 1)
b) en deduire que F(x) = pi/2 - F(1/x) ( alors la jai pas du tout trouvé )
c) que vaut F(2) ? ( je pense que cest tan -1 de 2 )
d) determiner la limite de F(x) lorque x tend vers +00
e) en utilisant le fait que F est impaire determiner la limite de F lorque x tend vers -00 ( elle sera contraire a celle de +00 )

Jusque la et grace a votre aide en partie j'ai pu rédiger mon devoir.

3) a) Je trouve 0 pour la dérivée.
b) Ainsi la fonction est constante. Il ne reste plus qu'à trouver une valeur de G. Par exemple, en 1, G(1) = 2F(1) = pi/2.
Donc G est constante égale à pi/2. Ainsi pour tout x F(x) + F(1/x) = pi/2, d'où F(x) = pi/2 - F(1/x).
d) Lorsque x tend vers +inf, G(x) tend vers pi/2, F(x) tend vers l, et F(1/x) tend vers F(0)=0.
Ainsi en passant à la limite dans G(x) = F(x) + F(1/x) , je trouves : lim(+inf) F(x) = pi/2.
e) -pi/2. je peux donc tracer ta courbe, qui vaudra 0 en 0, et aura deux asymptotes horizontales : y=pi/2 et y'= - pi/2.

Les questions suivantes suivent directement celles que j'ai donné précédemment.

4) a) Trouver une relation analogue a celle obtenue précédemment lorsque x appartient a l'intervalle ]-inf; 0[.
b) Determiner le sens de variation de F puis dresser son tableau de variation
--> Ici j'ai pensé a utilisé la continuité de F et d'utiliser la généralisation du théoreme de la bijection sur les intervalles concerné. Est-ce juste?

5)On note T la tangeante a C au point d'abscisse 0.
a)Determiner l'équation réduite de T. Etudier la position de C par rapport a sa tangeante T au point 0.

6) On pose pour tout entier naturel n S(n) = [Somme avec K allant de 0 a n] de F( 1 / ( 1+k[k+1]) )
a) Démontrer que pour tous réels a et b positifs ou nuls on a:
F(a)-F(b) = F( (a-b) / (1+ab) ) (Cette question est la plus difficile m-a t-on dis)
b) Vérifier que S(n) = F(n) et en déduire que la suite S est convergente.

Je vous remercie infiniement de votre aide.

[Ben314]

Bonsoir,
Fait attention pour le 3)a) à préciser le domaine de définition de G et pour le 3)b) a déduire que g est constante sur R+ (quand la dérivée d'une fonction est nulle, on peut en déduire que la fonction est constante sur chaque intervalle de son ensemble de définition)

Pour le d), il ne faut pas parler de la limite de f() en +infini avant d'avoir montré qu'elle existe. Tu doit donc écrire "en faisant tendre x vers +infini dans la formule f(x)=pi/2-f(1/x), on a...."

Pour le 4)a), tu procède exactement de la même façon qu'au 3)b) mais il faut prendre un autre point que le point x=1...
Pour le b), il n'y a aucun théorème à utiliser, vu que, par définition F est une primitive de 1/(x²+1), cela veut dire que la dérivée de F est...

Pour le 5)a), tu connait F(0) et la dérivée de F : y'a qu'à appliquer la formule qui donne l'équation de la tangente. Pour déterminer la position de la tangente par rapport à la courbe, je te conseillerais d'étudier la fonction F(x)-T(x) et, en particulier de la dériver (ici T(x) désigne évidement la fonction dont la courbe est la tangente)

Pour le 6),a), je te conseillerais de commencer par trouver la formule qui donne tan(A+B) en fonction de tan(A) et de tan(B) puis d'utiliser le 2)b)
Le b) se fait alors par récurence en utilisant la formule du a)

Bon courage...

[Ben314]

Bonsoir,
Fait attention pour le 3)a) à préciser le domaine de définition de G et pour le 3)b) a déduire que g est constante sur R+ (quand la dérivée d'une fonction est nulle, on peut en déduire que la fonction est constante sur chaque intervalle de son ensemble de définition)

Pour le d), il ne faut pas parler de la limite de f() en +infini avant d'avoir montré qu'elle existe. Tu doit donc écrire "en faisant tendre x vers +infini dans la formule f(x)=pi/2-f(1/x), on a...."

Pour le 4)a), tu procède exactement de la même façon qu'au 3)b) mais il faut prendre un autre point que le point x=1...
Pour le b), il n'y a aucun théorème à utiliser, vu que, par définition F est une primitive de 1/(x²+1), cela veut dire que la dérivée de F est...

Pour le 5)a), tu connait F(0) et la dérivée de F : y'a qu'à appliquer la formule qui donne l'équation de la tangente. Pour déterminer la position de la tangente par rapport à la courbe, je te conseillerais d'étudier la fonction F(x)-T(x) et, en particulier de la dériver (ici T(x) désigne évidement la fonction dont la courbe est la tangente)

Pour le 6),a), je te conseillerais de commencer par trouver la formule qui donne tan(A+B) en fonction de tan(A) et de tan(B) puis d'utiliser le 2)b)

Le b) se fait alors par rcurence en utilisant la formule du a)

Bon courage...