Exercice de Première S

[Anonyme]

Voilà, j'ai un exo, et j'y comprend absolument rien. J'aimerai bien qu'on
m'explique, si quelqu'un y comprend quelque chose, ce serait sympa de
m'expliquer.

"Il s'agit de determiner toutes les fonctions f satisfesant la condition:
f est une fonction définie sur [0;1] et à valeur de [0;1° telle que pour
tout réels x et y de [0;1]
|f(x)-f(y)|>ou= |x-y|

1) verifier que les fonctions u et v définies sur [0;1] par u(x)=x et
v(x)=1-x remplissent cette condition.

2) Dans toute la suite, f désigne une fonction satisfaisant la condition.
Pouver qu'alors nécessairement
f(0)=0 f(0=1
{ ou {
f(1)=1 f(1)=0

3) on suppose que f(0)=0 (donc f(1)=1)
a) démontrez que pour tout x de [0;1], f(x) >ou = à x
b) Exploitez l'inégalité |f(x)-1| >ou = |x-1| pour établir que pour tout
x de [0;1], f(x)=x

4) Examinez le cas f(0)=1. On pourra par exemple s'interresser à la fonction
g(x)=1-f(x)

5) Déduisez de cette étude que les seules fonction qui vérifient la
condition énoncée sont les fonctions u et v."

Voilà, l'exercice.

Merci d'avance.

Soso

[Anonyme]

> Voilà, l'exercice.
On ne va pas non plus tout faire à ta place...
Qu'as tu déjà fais? Où bloques-tu?

--
Maxi

[Anonyme]

On 2003-10-20, veinarde wrote:
> "Il s'agit de determiner toutes les fonctions f satisfesant la condition:
> f est une fonction définie sur [0;1] et à valeur de [0;1° telle que pour
> tout réels x et y de [0;1]
> |f(x)-f(y)|>ou= |x-y|
>
> 1) verifier que les fonctions u et v définies sur [0;1] par u(x)=x et
> v(x)=1-x remplissent cette condition.

Remplace u puis v dans l'inégalité |f(x)-f(y)|>ou= |x-y|.

> 2) Dans toute la suite, f désigne une fonction satisfaisant la condition.
> Pouver qu'alors nécessairement
> f(0)=0 f(0=1
> { ou {
> f(1)=1 f(1)=0

Soit A,B dans [0,1] vérifiant |A-B| >= 1; que peux tu dire de A et B ?

>
> 3) on suppose que f(0)=0 (donc f(1)=1)
> a) démontrez que pour tout x de [0;1], f(x) >ou = à x

|f(x)-f(0)| ...

> b) Exploitez l'inégalité |f(x)-1| >ou = |x-1| pour établir que pour tout
> x de [0;1], f(x)=x

Par l'absurde: suppose que f(x) > x.

> 4) Examinez le cas f(0)=1. On pourra par exemple s'interresser à la fonction
> g(x)=1-f(x)

g(0) = ?
g(1) = ?

> 5) Déduisez de cette étude que les seules fonction qui vérifient la
> condition énoncée sont les fonctions u et v."

Conclusion facile; bien la rédiger.

> Voilà, l'exercice.

Voilà, je me suis bien amusé.

--
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[Anonyme]

Je n'ai pas demander que l'on me face tout l'exercice, justement, je vois
pas l'interet de faire un exercice qu'on a pas compris; j'ai simplement
demander si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire.

[Anonyme]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai réussi, avec un peu de mal tout de
même, à faire l'exercice.

Merci.