Exercice nombre complexe (une seule question)

[firewarrior]

J'ai besoin d'un peu d'aide sur cet exercice ! J'y ai répondu partiellement, si vous pouvez me dire la ou j'ai faux, et m'aider la ou je n'arrive pas cela serai super :))

Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal direct (o,u,v)
on considère l'application f sur C-{-2;-1} dans C définie par Z=(z+1-2i)/(z+2+i)

1)Représenter dans (P) le point A d 'affixe(-3+i); calculer f(-3;+i) et représenter dans (P) le point A' d'affixe f(-3+i)
2)Résoudre dans C l'équation f(z)=2i
3)En posant z=x+iy ( xe R et yeR) déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z)
4)Déterminer et représenter dans (P) l'ensemble (E1) des points M d'affixe z tels que f(z) soit réel
5)Déterminer et représenter dans (P) l'ensemble (E2) des points M d'affixe z tels que f(z) soit un imaginaire pur.
6)D2terminer et représenter dans (p) l'ensemble (E3) des points M d'affixe z dont les images par f sont sur le cercle de centre O et de rayon 1
7)En considérant les vecteurs d'affixes z+1-2i et z+2+i, exprimer un argument de f(z).
retrouver géométriquement les résultats des questions 4 et 5.


Mes réponses :

1)

f(-3;+i)
=(-3+i+1-2i)/(-3+i+2+i)
=(-2-i)/(-1+2i)
=(-2-i)(-1-2i)/[(-1+2i)(-1-2i)]
=(2+i+4i-2)/(1²+4²)
= 5i/5
= i
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2)

f(z)=(z+1-2i)/(z+2+i)
f(z) = 2i -->
(z+1-2i)/(z+2+i) = 2i
z+1-2i = 2iz + 4i - 2
z - 2iz = -3 + 6i
z(1-2i) = -3(1-2i)
z = -3
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3)

f(z)=(z+1-2i)/(z+2+i)
= (x+iy+1-2i)/(x+iy+2+i)
= (x+1+i(y-2))/(x+2+i(y+1))
= (x+1+i(y-2))(x+2-i(y+1))/[(x+2+i(y+1)).(x+2-i(y+1))]
= [(x+1)(x+2)+(y-2)(y+1) + i(-(x+1)(y+1)+(y-2)(x+2))]/[(x+2)²+(y+1)²]
= [(x²+3x+2+y²-y-2+ i(-xy-x-y-1+xy+2y-2x-4)]/[(x+2)²+(y+1)²]
= [(x²+3x+2+y²-y-2+ i(-3x+y-5)]/[(x+2)²+(y+1)²]

X = (x²+3x+y²-y) / [(x+2)²+(y+1)²]
Y = (-3x+y-5) / [(x+2)²+(y+1)²]
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4)

f(z) est réel si sa partie imaginaire est nulle:
(-3x+y-5) / [(x+2)²+(y+1)²] = 0
E1 est l'ensemble des points de la droite d'équation y = 3x+5 à l'exception du point (-2;-1)
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5)

f(z) est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle:

(x²+3x+y²-y) / [(x+2)²+(y+1)²] = 0
[(x + (3/2))² + (y - (1/2))² - 10/4] / [(x+2)²+(y+1)²] = 0

E2 est l'ensemble des points du cercle de centre ((-3/2);(1/2)) et de rayon (1/2)V10 à l'exception du point (-2;-1).
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6)

[(x²+3x+2+y²-y-2+ i(-3x+y-5)]/[(x+2)²+(y+1)²]

Je pense qu'il faut tout développer en mettant [(x²+3x+2+y²-y-2+ i(-3x+y-5)]/[(x+2)²+(y+1)²] =1
Si c'est ça, j'ai trouvé y=(-1/3)x -5/3 + i((1/3)y -x -5/3)

Je ne sais pas quoi en déduire :(...

7) Réussie

Quelqu'un peut m'aider pour la question 6 ?

[firewarrior]

Personne ? Il n'y a qu'une question...