Exercice de maths de terminal sur les suites et fonctions

[Kawasaki]

Bonjours à tous;

Voila l'exercice sur lequel je bloque:
"1. On considère la fonction f définie par:
f(x)=(2x+1)/(x+1)
a). Déterminer l'ensemble de définitions de la fonction f et étudier ses variations.
b). Montrer que si x appartient [1;2] alors f(x) appartient [1;2].
c). Construire un graphique.
2. On considère les suites:
Uo=1 Vo=2
Un+1=f(Un); n;)0 Vn+1=f(Vn); n;)0
a). Construire sur le graphique précédent les 3 premiers termes des suites (Un) et (Vn)
b). Démontrer par récurrence que 1;)Un;)2 et 1;)Vn;)2 pour tout n appartenant aux entiers naturels
c). Démontrer par récurrence que la suite Un et croissante et que la suite Vn est décroissante.
d). Montrer que pour tout n appartenant aux entiers naturels:
Vn+1-Un+1=(Vn-Un)/[(1+Un)(1+Vn)]
e). En déduire que 0;)Vn-Un;)(1/4)^n pour tout n appartenant aux entiers naturels.
f). Prouver que les suites Un et Vn convergent et déterminer leur limites "


Voilà ce que j'ai fait:
1a) fait
1b) J'ai remplacer x par 1 et 2 et j'en ai déduit que f(x) [1;2]
1c) fait
2a) J''ai trouver que U1=1.5 et U2=1.6
V1=1.67 et V2=1.63
2b) Je trouve pour l'hérédité que (2Un+1)/(2);)(2Un+1)/(Un+1);)(2Un+1)/(3) mais je ne pense pas que se soit ça.... :triste:
2c)Je trouve pour Un (2Un+1)/(Un+1);)(2Un+1)/(Un+2) donc Un croissant et pour Vn (2Vn+1)/(Vn+1);)(2Vn+1)/(Vn+2) mais ça me parrait bizzare :triste:
Pour la suite des question je suis complètement bloqué :mur:
Merci pour votre aide :help:

[siger]

bonjour

2c
U(n+1)=<2
U(n+1)=< (2U(n)+1)/(U(n)+1)<=2
2U(n)+1 =< 2U(n)+ 2...

pour la suite tu voudras bien ecrire correctement les indices entre parenthses
Un+1 signifiant a la fois U(n+1) et U(n) + 1....
ce qui rend ton texte incomprehensible
.....

[Kawasaki]

bonjour

2c
U(n+1)=<2
U(n+1)=< (2U(n)+1)/(U(n)+1)<=2
2U(n)+1 =< 2U(n)+ 2...

pour la suite tu voudras bien ecrire correctement les indices entre parenthses
Un+1 signifiant a la fois U(n+1) et U(n) + 1....
ce qui rend ton texte incomprehensible
.....

Bonjour Siger,
je m'excuse pour l'écriture:
2c)Je trouve pour (Un) (2U(n)+1)/(U(n)+1);)(2U(n)+1)/(U(n)+2) donc (Un) croissant et pour( Vn )(2V(n)+1)/(V(n)+1);)(2V(n)+1)/(V(n)+2)

[siger]

re

comment trouves-tu ce résultat avec u(n)+2 (?)

[Kawasaki]

J'ai supposé que U(n);)U(n+1) donc on montre que U(n+1);)U(n+2). En reprenant l’hypothèse de récurrence je rajoute au fur et a mesure les différents termes et je tombe sur ce que j'ai mis.
"U(n);)U(n)+1
U(n)+1;)U(n)+1+1
1/(U(n)+1);)1/(U(n)+2
....

[Kawasaki]

en suivant le raisonnement de mon dernier message, j'obtient:
(2U(n)+1)/(U(n)+1);)(2U(n)+1)/(U(n)+2)
On sait que U(n)+2 U(n)+1 donc on peut en conclure que la suite est croissante; de même pour la suite (Vn) mais en prouvant qu'elle est décroissante
Est ce cela s'il-vous-plait?

[Kawasaki]

Sino, pour la 2c), est ce que je peux montrer que (Un) est croissante grâce aux questions précédentes en disant que f est croissante donc U(n) U(n+1)sachant que U(n)+1=f(U(n));)f(U(n+1) =U(n+2)