Exercice de Maths [Terminale ES]

[warzaza77]

Bonsoir à tous, je suis en terminale ES et mon professeur m'a donné un exercice que je n'arrive pas à résoudre, j'ai demandé a beaucoup de personnes dans mon entourage et n'y arrivant pas non plus, j'ai décidé de faire appel à vous !

Voici l'énoncé :

Soit les fonctions f et g définies sur [0;3] par :
f(x)= x² et g(x) = 1/x+1

1)Tracer, à la calculatrice, les courbes représentatives Cf et Cg, respectivement de f et de g. Conjecturer les coordonnées du point d'intersection des courbes Cf et Cg et leurs positions relatives sur [0;3].
Pour cette question aucun problème, j'ai trouvé les points d'intersection ainsi que les positions relatives. Le point d'intersection I (0.76 ; 0.58) et Cf < Cg en [0;0.76] puis Cf > Cg en ]0,76;3].

2)On pose d(x) = f(x) - g(x) sur [0;3].
a) Etudier les variations de d sur [0;3]
Ici j'ai calculé d(0) puis d(3) et j'ai démontré que d(3) > d(0) donc que la fonction d(x) est croissante en [0;3]. Bien sur j'ai rédigé mieux que cela.

b) Montrer que l'équation d(x) = 0 admet une unique solution notée alpha sur [0;3].
Et c'est ici que je bloque, si je dérive la fonction je me retrouve avec un x^3, et si je développe la fonction pareil. Je ne sais pas comment faire pour montrer ça, j'ai donc besoin d'aide car je ne peux pas avancer dans l'exercice sans faire cette question.

c)En déduire le tableau de signes de d(x).

Voila j'attends de vos nouvelles, bonne soirée.

[annick]

Bonjour,
pour la question 2 sur la croissance, qui te prouve que entre 0 et 3, ta courbe ne fait pas des tas de montées et de descentes, même si effectivement d(3)>d(0)

Par exemple, tu dois monter au 6ème étage en partant du niveau 0. On voit bien que tu vas monter (courbe croissante).
Mais si tu ne fais pas le chemin en direct et que tu montes au 3ème, t'aperçois que tu as oublié quelque chose au 1er, puis t'arrêtes au 4ème, avant de redescendre dire bonjour à ton collègue du 3ème etc...
Crois-tu que ta courbe est seulement croissante ?

Et, au fait ta fonction g(x), c'est (1/x)+1 ou 1/(x+1) ?

[Gonra]

salut

b) Montrer que l'équation d(x) = 0 admet une unique solution notée alpha sur [0;3].

Utilise le théorème des valeurs Intermédiaire

[warzaza77]

Je me suis demandé la meme chose, mais je n'ai vu que cette solution pour cette réponse, je ne vois pas comment procéder sinon :/ Mais je suis d'accord avec vous.

[warzaza77]

Bonsoir Gonra, je n'ai jamais vu ce théorème, c'est ca le probleme avec ce professeur, il donne le cours après avoir ramassé les exos.

[annick]

Tu dois calculer d(x) = f(x) - g(x) puis calculer sa dérivée et en déduire les variations de d(x).

[annick]

Que trouves-tu pour la dérivée ?
Pour étudier son signe, même si tu as des x^3, n'oublies pas que tu es sur [0,3], c'est-à-dire que x positif, ce qui peut t'aider le signe de ta dérivée sans faire de calculs.

[warzaza77]

le problème c'est que d'(x) = 2x + 1/(x+1)²
Et je ne sais pas quoi faire avec cette formule.

[warzaza77]

En développant la dérivée, je trouve d'(x) = 2x^3 +4x² +2x + 1 /(x+1)²

[annick]

Bon, alors ta fonction g(x), c'est celle-là 1/(x+1) ?

Dans ce cas, effectivement, d'(x)=2x + 1/(x+1)²

Sur [0,3], 2x est >=0 et 1/(x+1)² est toujours >0, donc d'(x) est >0

[warzaza77]

Merci de répondre aussi rapidement.

D'accord c'est noté, maintenant il me reste la b) qui me pose toujours problème..

[annick]

Quelles valeurs as-tu trouvé pour d(0) et d(3) ?

Si d(0) est 0, comme ta fonction est uniformément croissante sur le domaine, elle passe forcément par une valeur alpha telle que d(alpha)=0 et cette solution est unique. C'est je crois ce que l'on appelle le théorème des valeurs intermédiaires, même si ma rédaction n'est pas parfaite.

Je t'ai trouvé une vraie définition qui dit ça :

Soit f fonction définie sur I et a et b éléments de I.
Si f est continue sur I alors :
pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) ,
il existe au moins un réel x0 compris entre a et b tel que : f (x0) = k

Il faut aussi remarquer que l'on ne te demande pas à ce moment du problème de calculer alpha.

[warzaza77]

d(0) = -1 et d(3) = 8.75

je peux donc dire qu'étant donné que la fonction d(x) est strictement croissante sur l'intervalle [0;3], alors elle passe obligatoirement par une valeur alpha telle que d(alpha) =0 et cette solution est unique. Cette rédaction est correcte je pense?

Je pense que je devrai le calculer pour la c) pour la tableau de signes.

[annick]

Oui, ce que tu écrit me parait juste.

Non, pour ton tableau de signe tu n'as pas besoin de calculer alpha : tu dis qu'entre 0 et alpha, la fonction d(x) est <0, que pour alpha d(alpha)=0 et pour x compris entre alpha et 3, d(x) est positive et ça suffit.

[warzaza77]

Merci beaucoup pour votre aide Annick, j'ai fini la rédaction de l'exercice, je vous souhaite une bonne fin de soirée !

[annick]

Bonne fin de soirée à toi aussi, ça été très agréable de bosser avec toi.