Exercice maths Premiere

[sarahdvz66]

Bonjour, j’ai cet exercice de maths à faire et je ne le comprends pas et n’y arrive pas, une âme charitable pour m’aider ?

Soit k la fonction définie sur R par : k(x) = | x au carré - 2x - 3 |
Sa courbe représentative Cк est tracée ci-contre.
1. a. En donnant un argument graphique, justifier que k n'est ni paire, ni
impaire.

b. Montrer par des calculs que k n'est ni paire, ni impaire.

2. Déterminer l'expression de k sans valeur absolue.

3. a. À partir de Ck, conjecturer là dérivabilité de k en 3 et -1.

b. Démontrer votre conjecture.
c. En déduire l'ensemble de derivabilité de k, puis donner l’expression de k’ sur cet ensemble.



J’ai vraiment besoin d’aide et de le réussir…

merci beaucoup

[sarahdvz66]

mon brouillon :

1. a. Graphiquement, observez que Ck n'a ni symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ni symétrie par rapport à l'origine.

b. Calculons k(-x) et -k(x) :
k(-x) = |(-x)^2 - 2(-x) - 3| = |x^2 + 2x - 3|
-k(x) = -|x^2 - 2x - 3|
Les deux expressions ne sont ni égales ni opposées, donc k n'est ni paire ni impaire.

2. Pour déterminer l'expression de k sans valeur absolue, résolvons les cas possibles :
a. Si x^2 - 2x - 3 >= 0, alors k(x) = x^2 - 2x - 3.
b. Si x^2 - 2x - 3 < 0 , alors k(x) = -(x^2 - 2x - 3)

3. a. Conjecture : La dérivabilité en 3 et -1 est probable à partir de la continuité de Ck.

b. Démonstration : Utilisons la définition formelle de la dérivée en 3 et -1. Par exemple, pour x = 3, calculons lim h-> 0 k(3+h)-k(3)/ h

c. Ensemble de dérivabilité : R \ (3,-1)
Expression de k' sur cet ensemble : k(x) =2x-2

[Ben314]

Salut,
Pour la b), à mon avis, ça ne va pas vu que tu ne démontre pas que "les valeurs ne sont ni égales, ni opposées" : deux formules peuvent très bien avoir des apparences différentes et quand même être égales.
Pour montrer proprement que ce n'est pas le cas ici, il te suffit de prendre un x particulier (par exemple x=1) et de vérifier que, pour ce x là, les réels k(x) et k(-x) ne sont ni égaux, ni opposés.

Pour le début du 2), c'est O.K. sauf qu'il faudrait aller plus loin dans la distinction des deux cas, c'est à dire préciser quels sont les x tels que x^2 - 2x - 3 > 0 et quel sont ceux tels que x^2 - 2x - 3 < 0.

[catamat]

Bonjour

Pour le 1b il faut donner un contrexemple avec les images de deux nombre opposés, ici f(1) et f(-1) permettent de conclure.
Dire que f(-x) ne ressemble pas à f(x) ni à -f(x) ne suffit pas on pourait avoir des expressions qui semblent différentes mais donnent des résultats identiques...

Pour le 2, chercher les racines du trinôme et établir un tableau de signes puis donner les expressions sans ||.

Pour le 3a, attention ne pas confondre continuité et dérivabilité...
Pour la dérivabilité, graphiquement la courbe doit admettre une tangente au point indiqué, or ici la courbe admet deux demi tangentes en 3 et en -1...

au b, il faudra déterminer les limites en 3 par valeurs inférieures (à gauche) puis par valeurs supérieures.... idem en -1

Enfin au 4 il faut reprendre les expression trouvées au 2 et donc envisager deux cas suivant le signe de x²-2x-3...

[catamat]

Désolé Ben les messages ce sont chevauchés...

[Ben314]

Pas grave . . .

[sarahdvz66]

1b. Soit f(x) = |x^2 - 2x - 3|. Prenons x = 1 et -1 alors f(1) = 2 et f(-1) = 2 bien que f(-1) = f(1) ce n'est pas égal à -f(1) fournissant un contrexemple.

2. Pour trouver les racines de x^2 - 2x - 3 résolvons x^2 - 2x - 3 = 0 Les racines sont x = -1 et x = 3. En utilisant un tableau de signes, k(x) = x^2 - 2x - 3 si x <= 1 ou x >= 3, et k(x) = -(x^2 - 2x - 3) si -1 <= x <= 3

3a. Pour la dérivabilité en 3 et -1, graphiquement, la courbe doit admettre deux demi-tangentes en ces points.

3b. Pour déterminer la dérivabilité en 3, calculons les limites en utilisant les valeurs inférieures (à gauche) et supérieures (à droite) :
lim h-> 0 = k(3+h)-k(3)/h

Je n’y arrive pas..

4. En fonction du signe de x^2 - 2x - 3 deux cas se présentent :
a. Si x^2 - 2x - 3 >= 0 alors k(x) = x^2 - 2x - 3
b. Si x^2 - 2x - 3 < 0 alors k(x) = -(x^2 - 2x - 3)

[Ben314]

Si effectivement on avait f(-1)=2 et f(1)=2, alors ça prouverais que la fonction n'est pas impaire (vu qu'on aurait trouvé un x qui ne vérifie pas f(-x)=-f(x)) mais par contre elle pourrait éventuellement être paire vu que, pour ce x là, on a bien f(-x)=f(x) [donc il faudrait essayer avec un autre x pour voir]
Sauf que, en fait. . . tu t'es trompé dans ton calcul est f(-1) n'est pas égal à 2
(d'ailleurs, f(-1) tu as dit combien il valait à la question 2)

Pour la question 3.a), ce que tu écrit n'est pas franchement clair : la question posée est de savoir (avec une lecture graphique) si la fonction est ou n'est pas dérivable en x=3 (et x=-1).
Donc la réponse attendue, c'est soit "OUI elle l'est", soit "NON elle ne l'est pas"

Et concernant ta limite quand h->0, à un moment donné( dès le début ou plus tard), il va te falloir distinguer les deux cas h->0+ et h->0- de façon à pouvoir évaluer la valeur absolue de ta formule.